7-08 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



des bissecli'ices des axes qui contient Taxe réel, et définissent des fonctions 

 holomorphes dans un secteur ainsi défini. Quand le point u tend vers l'ori- 

 gine dans ce secteur, les intégrales obtenues tendent uniformément vers 

 zéro, et admettent toutes le développement asymptotique mis en évidence 

 par M. Picard. Il suffit de substituer ce développement asymptotique 

 dans le second membre de Téquation (3), et d'appliquer le théorème 

 énoncé, à gauche de l'axe des quantités imaginaires, pour démontrer que 

 la fonction u(x), et par suite l'intégrale générale de l'équation (2) ont des 

 points critiques logarithmiques. 



On a remarqué souvent qu'une variation simple d'un coefficient numé- 

 rique peut changer profondément la nature d'une fonction analytique : 

 voici un nouvel exemple de ce fait. Les-intégrales de toutes les équations 



OÙ a et p sont deux coefficients numériques et qui, à notre point de vue, ne 

 dépendent que du paramètre -> ont des points critiques algébriques ou loga- 

 rithmiques, sauf les intégrales des équations qui se ramènent aux trois sui- 

 vantes : 



■G; 



A, B, G désignent des constantes d'intégration. Les intégrales des équa- 

 tions (5) et (6) sont méromorphes et ont des pôles simples de résidu i.: les 

 pôles de la fonction 'C forment un réseau de parallélogrammes; les pôles de 

 l'intégrale générale ^(0;) de l'équation (^G) sont les zéros d'une fonction 



3 . 



entière d'ordre -? et deviennent plus denses à mesure que le point a; s'éloigne 



dans son plan. Enfin l'intégrale générale y(x) de l'équation (7) admet 

 comme ligne singulière une circonférence ou une droite, n'est définie, 

 suivant les valeurs des constantes d'intégration, qu'à l'intérieur ou à l'exté- 

 rieur de celte circonférence, ou d'un côté de cette droite, et est holomorphe 

 dans la région où elle est définie. 



