SÉANCE UU I*^' AVRIL 1912. 857 



' spécial contenant 11 fois le vecteur i'. Le produit a'*'"" N^ M des rnultipèdes M, M est le 

 {n-\-m — a)-pède, donné par le ix'^'"' composé (Ueberscliiebung) des formes des 

 rnultipèdes N et M (cf. I). 



Les coefficients de la forme de N étant des fonctions de poinl \, de coordonnées 

 cartésiennes X/^^ N détermine la fonction n-pédique ^, le produit N^ M détermine le 

 produit (x}^^' des fondions N et M. Le vecteur s^'mbolique V de Hamilton donne le 

 X-péde spécial spécial symbolique V^, et celui-ci détermine les (Ve/'/Vee^ (X-i-/< — a)-pé- 

 diques V'^ N de la fonction N (cf. 111) (' ). 



Le développement fondamental des composés de trois formes binaires de 

 M. Gordan (^) donne des relations entre les fonctions multipédiques, leurs 

 produits et leurs dériv(''es, en observant que la quadrique du vecteur V 

 correspond à un opérateur difTérentiel. Par exemple, on peut exprimer V^N 



parN'»', N', N'^^'C). , 



2. Les axes d'un bipède è(ce sont les bissectrices de son angle et la 

 normale à son origine sur son plan) forment un trièdre T trirectangle; 

 les vecteurs du tripède / = /«j /», où h = b^b^ sont situés sur T (cf. I, n" 4). 

 On tire de la théorie des formes bi(|uadratiques que tous les bipèdes 

 coaxiaux avec b sont donnés par <jb-\-xh, où ct, t sont des nombres 

 quelconques. Entre ces bipèdes il y en a trois spéciaux : Lt= /| = Gj^b -+- h, 

 où 4 est un vecteur situé sur un des axes de 6 ( '). 



Si b est une fonction bipédique,\Q trièdre T devient mobile. Cherchons les 

 conditions, remplies par cette fonction }i, dans le cas où T forme un système 



(') Posons N^-,, M = N M, donc pour le produit scalaire : N,-,, l\, = I\-^N, ; 

 Ni,M = NM;(...((NiM)pP)...) = iNiMpP...; V„N=i\«'),V?Nr=IN(»'», V?N = N<'»«°'; 



(2) 



V', N = N'; V,N=N 



(-) Voir Forniensyslem hinârer Formen(i8jo); cf. E. Strob, Math. Ann., t. XXX III. 



(^) On peut envisager les notions ci-dessus comnje les débuis d'une analyse de 

 fonctions sphériques de point ou de représentations sphériques généralisées, dont 

 les numéros suivants contiendraient des applications. En effet, H„=: N c" est une 

 fonction spliérique de (' (cf. II); la fonction sphériq lie Ni M ('"+"•-« peut être nommée 

 produit a'^"" H„ill,„ des fonctions H„ et H,„= Me"'. Si N est une fonction de poinl, 

 H„ est une fonction sphérique de point. V*' détermine \,\ fonction spliérique svntbo- 

 /«'</«e V)^= V^- c^, opérateur différentiel donnant naissance au\ fondions sphériques 

 dérivées VxâHn de la fonction H„. 



(*) Nous excluons ici et dans la suite le cas où le bipède b soit spécial. Dans ce cas 

 le discriminant de la biquadratique de b s'annule, mais comme il est égal à 



i<.<| = |^,|2 + 6|/,l^+i5|i,p-+- ,o|<,p 

 (les <v étant les coefficients de la sextique l), ox\ a t^o. 



