SÉANCE DU l" AVRIL 1912. SSg 



5. Pour Yeffort spécial, dont les composantes sont les dérivées du second 

 ordre d'une fonction scalaire *, on trouve 6=0; les équations du n° 3" se 

 réduisent à la seule (cf. Weingarten, loc. cit.) 



(B) 5(00). ç(00).^(00).^(000)-_ o_ 



Par des calculs exclusivement empruntés à la théorie des formes binaires et 

 surtout des formes / dont le composé {/,/)' s'annule identiquement (voir Goruan, 

 //il'., II, p. 2o4), nous avons traité le cax spécial de la fonction bipédique (') : 

 6= N/"-'-t- /•', où /• est le vecteur OX (parlant de l'origine O) et N est un rt-pède 

 constant. Il n'y a que les possibilités suivantes pour un système triple orthogonal 2^ 

 ou un effort isostatique correspondant : (a) n quelconque et N spécial; (b) n ^2, 

 donc b =^ a -h /'■', où a est un bipède constant : système des sur/aces confocales de 

 deuxième degré; le bipède b étant situé sur un des hyperboloïdes à une nappe; 

 (t) rt = 3 et N trirectangle ; {d) « = 6 et le sixpède N dirigé vers six sommets divers 

 d'un icosaèdre . 



6. M. Darboux a trouvé {Sysl. orlh., p. 533) pour la transformation 

 d'espace dépourvue de rotations donnée par la fonction s le théorème suivant : 

 « Si s satisfait à une certaine équation partielle du troisième ordre, le 

 trièdreT forme nécessairement un système triple orthogonal ; sinon, aucune 

 des faces de T ne restera tangente aux surfaces d'une famille. » L'équa- 

 tion (B) est justement une forme de cette équation, et la deuxième partie 

 de ce théorème peut être démontrée comme il suit : l'équation (B) n'étant 

 pas satisfaite, on a (voir n° 3") hh'9^0, donc on trouve pour b' = o [voir 

 équation (i), n" 2] qu'on a Ik-l'i,?^ <>■ 



THÉORIE DES FONCTIONS. — Une extension de l'intégrale de M. Lebesgue. 

 Note (') de M. Ar.vaud Dexjoy, transmise par M. Emile Picard. 



L'intégrale de Riemann a un sens quand la fonction intégrée/est con- 

 tinue ou quand ses points de discontinuité forment un ensemble de mesure 

 nulle. L'intégrale de Lebesgue s'applique à toute fonction /', d'une part 

 mesurable et d'autre part bornée, ou plus généralement sommable. L'une 

 et l'autre intégrales, prises entre a et x, sont des fonctions continues de .r, 

 a restant lixe, et leur dérivée est/, sauf en un ensemble de points de mesure 

 nulle. Mais il est possible de former des fonctions dérivées qui ne sont ni 



(') Dérivéei<''»'ayant:8/i(«— i)5=;2[H„ = Nr''] + rt(n — i)R'-i-cR''-HVT-f-G, 

 où R est la longueur du vecteur OX, et V est un vecteur constant. 

 (') Présentée dans la séance du 18 mars 191 2. 



