H6o ACADÉMIE DES bClKNCEh. 



intégrables selon Rietiiann, ni sonimablcs selon Lebesgue. J'indiquerai 

 dans cette Note un mode de calcul qui s'applique en particulier avec succès 

 à toute fonction dérivée y et qui nous donne pour résultat une fonction con- 

 tinue ayant pour dérivée /". 



Nous appellerons totalisation dey dans un intervalle a, h (a <^ h) et nous 

 désignerons par V(fl', /;) un nombre calculé suivant les règles exposées ci- 

 après, pourvu que/" se prête indéfiniment à leur application. 



Nous aurons à utiliser certaines notions. 



A. Nous dirons quey"e5^ no/i sommahle en un point si / est non som- 

 mable dans tout intervalle contenant (sens étroit) ce point. Si une fonction 

 est sommable en un point, c'est qu'il existe donc un intervalle contenant ce 

 point à son intérieur et où y est sommable. 



Soit CB une fonction égale à y sur un ensemble parfait donné P, et à zéro 

 en dehors de P. Nous dirons que f est sommable (ou non sommable) sur P, 

 dans un intervalle contenant des points de P ou en un point de P, si ^ est 

 sommable (ou non sommable) dans cet intervalle on en ce point. Les points 

 de P oùy est non sommable forment un ensemble fermé. 



B. Considérons un ensemble parfait discontinu P et faisons correspondre 

 , un nombre A„ à chacun de ses intervalles contigus «„. Nous dirons que la 



série A„ est absolument convergente dans un intervalle i si la série des 

 nombres A„ correspondant à des intervalles u^ intérieurs à i est absolu- 

 ment convergente. La série A„ est donc absolument convergente dans tout 

 intervalle intérieur à i. 



Nous dirons que la série A„ est absolument convergente en un point \I 

 de P, si M est intérieur à un intervalle i où la série A„ est absolument 

 convergente. Les points de non absolue convergence forment un ensemble 

 fermé. 



Pour calculer la totalisation V de /"dans un intervalle quelconque, nous 

 posons les définitions suivantes : 



Première définition. — La totalisation de V dans un intervalle où / est 

 sommable est l'intégrale de Lebesgue dey sur cet intervalle. 



Deuxième définition. — V étant définie pour une suite finie d'intervalles 

 juxtaposés, «,, a^; «2, a.j ;... ; f/„_|, a,„ Vie/,, a„) est par définition la 

 somme \ (a,, «„) -+- \ {a.,, a^) -\- . . . . 



Troisième définition. — Si y est sommable sur un ensemble parfait P, 

 situé sur (^, A), si V a été calculé dans tout intervalle u,', n'ayant à son inté- 

 rieur aucun point de P (et par suite compris dans un intervalle u„ contigu 



