SÉANCE UV l"'' AVRIL I912. 8fît 



àP), si, W(«„) étaiil la borne supérieure de | ^ ( "^J | quand «^, prend 

 toutes les positions possibles intérieures à «„, la série W(i/„) est conver- 

 gente ; par définition 



V(m„) étant la totalisation de/entre l'origine et rexlrémité de «„. 



Nous dirons que y est /o/a/?>aè/e dans un intervalle a, b si elle satisfait 

 aux trois conditions suivantes : 



Condition I. ~ Quel que soit l'ensemble parfait P situé sur <■/, b, renscniblc 

 des points de P où/" est non sommable sur P, est non dense sur P. 



6'o/?f///Jon // (de continuité de V). — Si V(c', r/') a été calculé quels 

 que soient c'<| d' (c et f/')intéricursau segment c, d, V (c', d') tend vers une 

 limite quand c' tend vers r et d' \o\?,d. Pour la continuité de V nous posons 



alors, par définition 



\{c.d) = \\m\{c'.(l'). 



Coiulition III. — (^uel que soit l'cnseml)lc parfait P, si \ a été calculé 

 dans tout intervalle «„ contigu à 1', rcnscuil)le des points de P où la série 

 ^^ „ n'est pas convergente est non dense sur P. 



Montrons comment, /satisfaisant à ces conditions, l'application répétée 

 des délinilions posées nous permet de calculer \'(«, i) au moyen d'une 

 infinité dcnombrable d'intégrales de Lebesgue, et l'addition des résultats 

 ellectuée dans un certain ordre. 



I" Tirons parti de la condition I. Prenons d'abord pour P lo continu. 

 L'ensemble E, des points de a^ b, où /'n'est pas sommable, est fermé et non 

 dense. I^, est la somme d'un ensemble parfait 1^, et d'un ensemble 11, 

 dénombrable. L'ensemble K. des points de P, où / est non sommable sur 

 P, est fermé et non dense sur P,. \ous posons F,^ = P^ -f- IL,, Po étant 

 parfait et IL dénombrable. 



Supposons Ep, Pj,, II i définis pour toutes les valeurs entières ou liansfinies 

 de j3 inférieures à un nombre donné a. Alors, si a est de première espèce 

 (c'est-à-dire si a a un prccédenl), K^ est par définition l'ensemble des 

 points de !',(_, oùy"n'est pas sommable sur P, ,. Si a est de seconde espèce, 

 Ea est l'ensemble commun à tous les ensembles Ef((ou Pp). Dans tous les cas, 

 Ea est fermé. Nous posons Ea = Pa +- IL, Pa étant parfait, lia dénombrable 

 et réductible dans tout intervalle contigu à P^. 



Pa4-i est non dense sur P^. Donc il existe pour chaque fonction f 

 satisfaisant à la condition I un nombre transfini de première espèce 0, tel 



c. R., 191 2, 1" Semestre. (T. 154, N^ 14.) III 



