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que E8= o, avec Es_, ^ o. Alors ou bien l^g_| est réduclilile, ou l)ieii /' est 

 soinmable sur P5-1. 



D'après la première définilion, dans loul^intervalle n'ayani, aucun poini 

 commun avec E,, V se calcule comme étant l'intégrale de Lebesguc de/ 

 dans cet intervalle. 



2° D'après la condition IT, V se calcule dans tout intervalle conligu à 1'',, 

 ensuite dans tout intervalle contigu au premier dérivé, puis à un dérivé 

 d'ordre quelconque de E,, finalement dans tout intervalle contigu à P,,par 

 une infinité dénombrable de passages à la limile. 



On voit de même que si V vient à être calculé dans tout intervalle n'ayant 

 aucun point commun avec E^, une infinité dénombrable d'utilisations de la 

 condition 11 nous permet d'avoir V dans clia<|ue intervalle contigu à l'o,. 



3° Tout se réduit donc à calculer V dans tout intervalle n'ayant aucun 

 point commun avec E. (avec Ea^,) sacbant le calculer dans tout intervalle 

 contigu à P, (à P„V 



Soit donc /, m un intervalle contenant un ensemble partait P sur lequel 

 / est soinmable. Supposons connu V (m^,) quel que soit «„ conqiris dans 

 l'intervalle u^ contigu à P (cette bypotbèse est exacte quand P coïncide 

 avec P|). Formons la série \V (;/„). Lespoints de P où elle diverge forment 

 un ensemble E' fermé et non dense sur P, somme de P' parfait et du 11' 

 réductible dans les intervalles contigus de 1". Dans tout intervalle n'ayant 

 aucun point commun avec l']', la troisième définition nous donne \' . Donc 

 la condition II nous donne V dans tout intervalle contigu à E' et de proche 

 en proche à P' par une infinité dénombrable de passages à la limite. 



Dans le calcul de ^ sur /, m, P est remplacé par P' non dense sur lui. 

 De proche en proche, on définit une suite bien ordonnée d'ensembles E* ou 

 P", chacun non dense sur les précédents, donc nuls à partir d'un certain 

 rang, et l'on calculera V dans les intervalles contigus à cliacun d'eux. 

 (^)uand on sera parvenu au dernier, on trouvera V (/, ///) qui sera donc cal- 

 culé au moyen d'une infinité dénondjrable d'intégrales de Lebesgue ajoutées 

 dans un certain ordre. 



Le lecteur voit donc sans peine (jue \ (a, A) s'obtient j3ar une opération 

 du même type. 



GÉOMÉTRIE. — Sur liiivariance de ht courbe fermée. 

 -Note de VI. L.-E.-.l. Hkouwri!, transmise par M. limile Picard. 



D'après la drllniliou tic M. Scim'nllies, on entend [)ar une courbe fermée 

 uu ensemble plan, borné, [laifail, d'un seul tenant, déterminant dans 



