SÉANCE DU l" AVRIL 1912. 863 



le plan deux régions, et identique à la frontière commune de ces deux 

 rég-ions. 



La propriété d'être une courbe fermée est un invariant de Canalysis situs, 

 autrement dit toute image plane, hiunivoque et continue d'une courbe 

 fermée est encore une courlje fermée, généralisation du théorème de 

 M. Jordan affirmant que toute image plane, biunivoqne et continue du 

 cercle est une courbe fermée. 



Le théorème de l'invariance de la courbe fermée a été énoncé par 

 M. Scinrnilies, mais il n'en existait pas encore de démonstration, lacune 

 que j'ai comblée moyennant \o raisonnement suivant, dont je me borne à 

 indiquer les principes : 



Un ensemble fini de points, arrangé dans un ordre cyclique, sera appelé 

 une chaîne. Une chaîne pour laquelle le maximum des dislances de deux 

 points successifs est inféiieur à î, sera appelée une rltainc-i. 



Par une modiJîcalion-c\ d'une chaîne j'entendrai : 1" un déplacement << r, 

 d'un de ses points, transformant la chaîne en une chaîne-Y]; 2° l'intercalation 

 d'un nouveau point, Iransfoiinant la chaîne en une chaîne-rj. 



Soit A un nombre lini et positif, e un cnsenil)le borné, parfait, tliin seul 

 tenant et admettant la propriété suivante : pour chaque t il existe une telle 

 (piantité r, s'évanouissant avec c et h telles chaînes Jonilamenlales situées 

 dans e, qu'ion peut transformer toute chaîne-£ située dans e, moyennant un 

 nombre fini de modifications-Y] et sans la faire quitter l'ensemble e, en une 

 chaîne canonique, se composant d'un nombre fini de chaînes fondamentales. 

 Nous dirons que l'ensemble e admet une hase h-uple de cyclose. Evidemment 

 la propriété dont il s'agit ici est un imarianl de ianalysis silus. 



Un ensemble n'admettant pas de base (h — i)-uple, mais admettant une 

 base A-uple de cyclose, sera dit admettre une base réduite h-uple de cyclose. 



On démontre la proposition suivante : 



Si un ensemble borné, parfait, d'un sent tenant, détermine dans le plan un 

 nombre fini h 4- i de régions, il admet une base réduite h-uple de cyclose. S'il 

 détermine dans le plan une infinité de régions, il n'admet pas de base finie de 

 cyclose. 



Il s'ensuit que deuv ensembles de régions, déterminés dans le plan l un par 

 un ensemble borné, parfait, d' an seul tenant e, l'autre par une image biuni- 

 <,oque et continue de e, possèdent le même nombre cardinal. 



L'invariance de la courbe fermée forme un cas spécial de ce dernier 

 théorème. 



