SÉANCE DU 9 AVRIL 1912. 927 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — L'onlrUnUion à la géométrie des courbes 

 convexes et de certaines courbes qui en dérivent. Noie de MM. Ch. Jorda\ 



et B. FlEDLER. 



Désioiions, romme courbes du lype IT, les courlics qui adinellent deux et 

 seulement deux tangentes déterminées, réelles, parallèles à une droite don- 

 née quelconque, et en plus le point de contact de ces tangentes étant bien 

 déterminé. 



Ces courbes sont nécessairement sans point d'intlexion. Les courbes 

 convexes fermées, sans parties droites et sans points anguleux, sont de telles 

 courbes. Le système de coordonnées le plus approprié pour leur étude est 

 le suivant : on attribuera aux droites un certain sens positif, une droite 

 sera donnée par rapport à un pùle et un axe polaire, si Ton donne l'angle a 

 que la direction positive de l'axe polaire fait, dans le sens positif, avec celle 

 de la droite, et la distance algébrique ^ de la droite aux pôles, où p sera 

 prise comme positive, si le pôle est à gauche de la droite, et comme néga- 

 tive dans le cas contraire. 



Pour que l'équation langentielle polaire /> ^p{y.) représente une courbe 

 du type 11, il faut (|ue/< soit une fonction uniforme et continue de a, que 

 y; et/)' existent pour toutes les valeurs de y., et enfin que p soit une fonction 

 périodique de a à période 27:. Dans ce système le rayon de courbure p de 



la courbe correspondant à une tangente donnée est p = p -h -—; si p > o, 



alors la courbe est dans le voisinage du point de contact correspondant à 

 gauche de la tangente considérée et, dans le cas contraire, à droite. Si p 

 s'annule pour une valeur de a en changeant de signe, la courbe passe d'un 

 côté de la tangente à l'autre, et le point de contact sera un point de rebrous- 

 sement de première espèce. Pour qu'une courbe II soit une courbe convexe 

 fermée, il faut que p conserve son signe si a varie de o à 2 z. 



Les courbes du type If, doni tous les rayons de courbure sont finis, soni 

 des courbes parallèles aux courbes convexes fermées. 



Désignons par longueur algébrique L et par aire algébrique A d'une 

 courbe II les valeurs données par les intégrales suivantes : 



L=r / p r/s! = 1 /> c/y. ; '^ ^^ 1 ?/' '^'■^ ' 



ces grandeurs sont indépendantes de la position du pôle et de celle de l'axe, 



