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el elles deviennenl, au cas où la courbe II esl conve.ve, légales au signe près 

 à la longueur et à l'aire de la courbe. Les courbes H, dont la longueur algé- 

 hri'que est nulle, sont les seules courbes II dont les développantes soient des 

 courbes fermées , et l'aire algébrique de ces courbes est toujours négative. 



Appelons deux tangentes dont la direction difTère de r. tangentes oppo- 

 sées et les points de contact correspondants points opposés, soit P la 

 distance algébricjue de deux tangentes opposées 



V^p(a) +[,{(,. + T.), 

 la longueur algébrique esl alors 



L=i Vdy-, 



appelons diamètre d'une courbe II le segment de droite qui relie deux 

 points opposés, à chaque point de la courbe ou à chaque tangente corres- 

 pond un diamètre déterminé, ce dernier sera considéré comme dirigé vers 

 la région gauche de la tangente rorrespondanle ; soit D la longueur algé- 

 bri<|ue du diamètre, D Sera prise comme positive si la tangente opposée se 

 trouve à gauche de la tangente considérée, et négative dans le cas contraire ; 

 soit T l'angle que la direction positive de la tangente fait en sens positif 

 avec celle du diamètre ; alors on a P = D sinx. 



Portons d'un point M d'une courbe sur le diamètre en sens positif une 

 longueur "aD, c'est-à-dire proportionnelle à la longueur du diamètre; alors 

 si M varie, le point N décrit une courbe II, l'équation tangentielle de la 

 courbe primitive étantyj = pi a ), celle de la courbe transformée sera 



/"=/.- /P; 



les tangentes AUX points correspondants en M et ?V sont parallèles, les dia- 

 mètres des deux courbes en M et N sont confondus, les angles t ainsi que 

 le barycentre de courbure de la courbe restent invariables par cette trans- 

 formation. Les centres de courbure de la courbe transformée sont sur le 

 diamètre correspondant de la développée de la courbe primitive. 



La longueur algébrique de la courbe primitive étant L, celle de sa 

 transformée sera 



L = (i — 2/)L. 



Considérons le cas particulier remarcjuable où X = -, alors la longueur 

 algcbnipie de la courbe obtenue esl nulle el, en plus, on a pour loutes les 



