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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Les hases géomèlriques de la mécanique, 

 statistique. Note de M. ëmii.k ISorel. 



On sait quelle est l'importance qu'ont prise en physique moléculaire les 

 considérations empruntées à l'espace à N dimensions, N étant un nombre 

 très grand (de l'ordre de lo^'). Je suis persuadé qu'il y aurait grand intérêt 

 à étudier à part les propriétés géométriques d'un tel espace, en les séparant 

 nettement des conséquences déduites de la forme particulière des équations 

 de la dynamique (théorème de Liouville). J'ai déjà indiqué, il y a quelques 

 années ('), comment, dans le cas le plus simple, la loi de répartition des 

 vitesses de Maxwell équivaut à une propriété élémentaire des sphères à 

 N dimensions. Je resterai aujourd'hui sur le terrain purement géométrique, 

 réservant pour une autre occasion les applications mécaniques. 



I. Définitions. — Je conviendrai de dire que N" est très grand d'ordre a. 

 et que N~" est très petit d'ordre a. Il importe de se rappeler qu'une quantité 

 très petite est d'autant plus petite que son ordre de petitesse est plus grand ; 

 si cet ordre dépasse \ ou jclle est inférieure aux plus petits rapports acces- 

 sibles à l'expérience (lo * à lo "). 



On pourrait donner une forme abstraite entièrement rigoureuse à ce qui 

 va suivre en supposant N infiniment grand et remplaçant très petit par infi- 

 niment petit. 



II. Figures régulières. — Une sphère L de rayon unité est définie par 

 l'équation 



N 



^x = I ; 

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une zone est une portion de la sphère comprise entre deux plans parallèles 

 (par exemple, entre deux plans x, =; const.) ; cette zone est équatoriale si 

 elle est partagée en deux parties égales par un plan diamétral ; la hauteur 

 de la zone est la distance des deux plans qui la limitent. 



Cela posé, on peut affirmer qu'il suffit que la hauteur d'une zone équa- 



( ' ) Sur les principes de la théorie cinétique des gaz ( Annales de i Ecole Nor- 

 male., 1906). 



