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de Lebesgue, V(cr, x) a bien pour dérivée /"dans cet intervalle, sauf peut- 

 être en un ensemble de mesure nulle. 



Donc la propriété est établie pour tout intervalle sans points communs 

 avec E,, ensemble des points de non-sommabilité de / sur le continu. 



On retend sans peine au complémentaire de P,, plus grand ensemble 

 parfait conleiiu dans \\. On le démontre de procbe en proclie pour l'en- 

 semble des points de P^ n'appartenant pas à Pa+,, grâce au théorème 

 suivant : 



P éla/it un ensemble parfait dont les intervalles contigiis sont u,, u„, ..., 

 ii„, ..., si /est somniahle sur P et si la série W (i/„) est convergente^ en tout 

 point de P sauf en un ensemble de mesure nulle, V a pour dérivée f. 



Je rappelle que VV(i/„) est la borne supérieure de |V(a^,, ^'„)\i 

 01!^^ et ^\^ étant intérieurs à «„. 



Soit a^ le segment limité par les extrémités de P. Nous savons que 



cp étant égal à f sur P et à zéio ailleurs, la première sommation étant 

 étendue aux intervalles u„ compris entre a et ./;, et au terme V(a^,,a'), 

 si X appartient à Tintcrvalle u^, soita^, [i^,. 



Tout revient à montrer que le premier ternie '^ (x) du second membre 

 est une fonction de x possédant sui- P (sauf eu un ensemble de mesure 

 nulle) une dérivée nulle. Désignons par I,„ (A) la famille d'intervalles ainsi 

 définis. W|, u.^,u,„ sé[)arent, sur a|3. m segments portant chacun une por- 

 tion de P. La famille 1,„(A) est formée des intervalles /, deux à deux 

 extérieurs l'un à l'autre, chacun compris dans l'un des segments précédents 

 et tel que « = A2,W( «„), la sommation du second membre étant étendue 

 aux u„ intérieurs à i. Une construction simple donne ces intervalles i. Le 

 complémentaire des I„(A) est un ensemble fermé E,„(A) non dense sur P, 

 contenant E,„_,(A), et dont la longueur est inférieure à celle de P de la 



quantité SI„,(A) = Ar„,, si /•,„ = T] \V(m„). La série W(«„) étant conver- 



m 4- 1 



gente, l'ensemble E(A) des points communs à Ë„,(A), quel que soit m, 

 a même longueur que P. Son complémentaire sur P a une longueur nulle. 

 En chaque point de E(A) les nombres dérivés de '^ sont en valeur absolue 



inférieurs à -• Si A croît indéfiniment, en tout point de l'ensemble E 



