SÉANCE UU 22 AVRIL 1912. IO77 



commun à tous les E(A), .{/ a une dérivée nulle. Le complémentaire de E 

 sur P a bien une longueur nulle. 



Une propriété fondamentale de la totalisation des fonctions, c'est que 

 toute fonction dérivée finie en chaque point est tolalisable, la totalisation de f 

 entre a et x étant une primitive de f. 



Prouvons que/ satisfait au.v trois conditions énoncées dans la précédente 

 Note. 



La première condition est remplie par toute fonction finie en chaque 

 point et limite de fonctions continues. Car, d'après le théorème de M. Baire, 

 l'ensemble des points d'un ensemble parfait quelconque/ au voisinage des- 

 quels la fonction est non bornée sur P, et a/or/jo/YTensenible des points où 

 elle est non sommable sur P, est non dense sur P, l'oscillation de la fonction 

 surP étant infinie en ces points. 



La seconde condition résulte de la continuité de la fonction primitive 

 de/. 



La troisième condition est satisfaite grâce au théorème suivant : 



Si f est une fonction finie en chaque point et dérivée de la Jonction F, si 

 les intervalles u\^ sont tels qu'entre deux quelconques pris parmi eux, il y en 

 ait un autre, l'ensemble des points où la série V («; ) des variations de F dans 

 les u„ est non absolument convergente est non dense sur l'ensemble parfait dis- 

 continu P formé par les points limites des u'^ . 



On montre plus généralement que l'ensemble des points de P au voisinage 

 desquels le rapport ! — ^-^7^^ n'est pas borné est non dense sur P. Dans l'hy- 



pothèse opposée, on prouve l'existence de points de P où /est infinie. 



Sans doute, chaque nombre dérivé d'une fonction, supposé fini en tout 

 point (sauf peut-être sur un ensemble réductible) est-il tolalisable. 11 

 satisfait en tout cas aux deux dernières conditions. 



Enfin, on s'aide du lemme suivant : 



Si f, dérivée de F, est sommable sur P ; si les variations de F duns les 

 intervalles conli<i;us à P forment une série absolument convergente, la somme 

 de cette série et de l'intégrale de f sur P est égale à la variation de F entre les 

 extrémités de P. 



Ainsi se trouve résolu pour la première fois, dans toute sa généralité, le 

 problème inverse de la dérivation : sachant que/ est une fonction dérivée, 

 fournir le moyen de calculer une primitive (ou la variation commune à 



