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toutes ses primitives entre deux points quelconques). Ce problème avait 

 été résolu par Riemann quand les points de discontinuité de y forment un 

 ensemble de mesure nulle; par M. Lebesgue, quand f est sommable, le 

 calcul de la fonction primitive se faisant dans chaque cas par une intégration 

 selon la définition de l'un ou l'autre analyste. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur lafonclion'Ç, (s) dans le demi-plan a > i . 

 Note de M. Harai.d lioiiit, présentée par M. Emile Picard. 



Dans un Mémoire récent (' ) j'ai démontré le théorème suivant : Lafonc- 

 tion'Ç(s) = 'Q(^<y -\- il) de Riemann qui, comme on le sait, est :^ o pour (7> i , 

 prend dans le demi-plan c ^ i , plus généralement dans la bande 

 I <; a < I + (S> o), une infinité de fois toute valeur à l'exception de zéro. 

 Dans cette Noie, je vais communiquer quelques résultats d'une recherche 

 plus délicate, résultais qui, à quelques égards, sont d'un caractère définitif. 

 La méthode de recherche employée est essentiellement la même méthode 

 arilhmùtique-géoméuique-analy tique, dont je me suis servi dans le Mémoire 

 cité ci-dessus. J'emploie cette méthode à la fonction log (^ (5) [et non pas 

 directement à la fonction 'C(s) elle-même], où log 'C (s) désigne la branche 

 régulière pour a-> 1 , qui prend des valeurs réelles pour s réel >■ i (-). La 

 recherche suivante se divise en trois parties assez différentes : 



1° La partie arithmétique. — Soit a-„^ i; on a, comme on le sait, l'égalité 

 suivante : 



n = 1 n = l 



OÙ 



\^„ — \>n{l) =Tt— l loy/J„. 



I 



(') Ueber das Verhallen von t,{s)in der Halbebene o- > 1 {Goliiiigtr Machrichlen, 

 1911). 



(2) Evideminenl la (lùlerniiiialion des valeurs de la fonction logÇ(.ç) eslun problème 

 j)lus général que la déterrninalion des valeurs de Ç {s) elle-même. Par exemple, du 

 théorème de la fin de celte Note, selon lequel logÇ(«) prend, pour c7> i , une infinité de 

 fois toute valeur, on [)eul déduire le résultat cité ci-dessus, que Ç(.s) prend pour (T>i 

 une infinité de fois toute valeur à l'exception de zéro, tandis que la conclusion inverse 

 serait illégitime. 



