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Considérons maintenant la série plus générale 



n=l 



OÙ les çi„ sont des nombres réels quelconques, et désignons par M = M(ao) 

 l'ensemble de toutes les valeurs que prend la série (i), quand les nombres 

 Çi, Œo) •••) 9«) ■•• pai'courent, /es uns indépendanimenl des autres, toutes 

 les valeurs réelles ou, ce qui revient au même, toutes les valeurs réelles ^o 

 et <; 2TI. Par une démonstration analogue à celle ijue j'ai employée dans 

 le paragraphe 2 de mon Mémoire cité (démonstra/ion arithmétique fondée 

 sur le théorème sur la décomposition unique d'un nombre entier positif en 

 nombres premiers)^ j'ai déduit le théorème suivant : 



Théoiiémk I. — a. Pour t réel, la valeur de log'C(c7„ -i- il) est comprise dans 

 l'ensemble M ( a-„ ) ( - ). 



p. Soit m un élém"nt quelconque île l'ensemble M, et soit t une quantité 

 positive arbitrairement petite. Alors il existe un nombre réel t, qui satisfait à 



l'inégalité 



|iogÇ((T„-f-/n — /"l <£. 



D'après le théorème I, la détermination des valeurs, que prend la fonc- 

 tion l()gC(*) sur la droite verticale a-=a-„0-ij, est essentiellement 

 rapportée à la détermination de l'ensemble M(a„) des valeurs, que prend 

 la série ( i), où les ç„ sont indépendants les uns des au/res. Cette dernière 

 détermination se fail dans 



2° La partie géométrique. — Considérons le terme général 



(2) _log(,H-;,-'^.e'T..) 



,'ïi„ 



de la série (i). Si çp„ varie de o (incl.) à 271 (cxcl.) le nombre r -\-p~'^"e' 

 parcourt dans le plan complexe un cercle de rayon p~''° ayant son centre 

 en I. De là on conclut aisément que, o„ variant de o à 2tt, le nombre (2) 

 parcourt une courbe convexe dans le plan complexe. La détermination de 

 l'ensemble M (a-„) est ainsi rapportée au problème suivant : L'addition de 



( ' ) A cause de la convergence de la série à termes positifs 2 [ — log ( 1 — P'i^"')] ^-^ 

 série (1) est convergente pour toute suite de nombres réels (p,, cp2, ..., ©„, ... 

 (et même uniformément pour tous o réels). 



(^) Celle première piirlie du théorème I est une conséquence immédiate de la défi- 

 nition de l'ensemble M(c7o). 



