Io8() ACADÉMIE DES SCIENCES. 



courbes convexes en nombre infini (*). Dans un Mémoire récent (-), j'ai 

 traité ce dernier problème d'une manière détaillée. En me servant des 

 résultats de ce Mémoire, je déduis immédiatement le 



Théorème II. — L'ensemble M(o-o) de points dans le plan complexe est un 

 domaine D(o-(,) limité, selon la valeur du nombre fixe a-„> i, ou par une 

 seule courbe convexe E ou bien pur deux courbes convexes E et P, où la 

 courbe P est située à r intérieur de la courbe E. 



Des théorèmes I et II on déduit immédiatement le théorème suivant 

 assez remarquable : 



TnKORiiME III. — 'Sioit !7o^ r, il existe dans le plan complexe un domaine 

 D = D(a-„) limité, selon la valeur de i^, ou d'une seule courbe convexe E ou 

 bien de deux courbes convexes E e/ P, P étant intérieure à E, de sorte (jue : 

 (y.) pour tout t réel le nombre log v((7o + it^ est situé dans le domaine I)(!T„), et 

 que (p) l'ensemble des valeurs de \o^'Ç{a^ -{- it) ( — ce <^ / <; x) est partout 

 dense dans ce domaine D ( '). 



3" La partie analytique. — Soit 7„>i, je vais déterminer l'ensemble 

 N^N((7o) des valeurs/*, que prend la fonction \og'Ç(s) infiniment près de 

 la droite verticale g = c7„ (*). Par une méthode fondée sur les théorèmes 

 importants de la théorie moderne des fonctions iinaly tiques ('), j'ai déduit 

 le théorème suivant: 



(') Soient 1'], Po, ..., P„ (les ensembles, en nombre infini, de points dans le plan 

 complexe, de sorte que p„ désignant l'élément général de l'ensemble P„, toute série 

 2/?„ est convergente. Alors nous entendons par la somme 2/>„ l'ensemble de tous les 

 points 2y0„. 



(*) Ont Addition af iicmlclig mange kom'ekse Kurver {Kgl. Danske Vidensk. 

 Selsk., 1913). 



(') D'ailleurs on peut aisément faire voir que pour c7„ assez grand, c'est-à-dire 

 pour ff„>(7', le domaine D sera limité par deux courbes convexes K et P, taudis que 

 pour (7„ rt.s's-f: rapproché de i, c'est-à-dire pour 1 < !7„<; tj". ie domaine D sera limité 

 par une seule courbe convexe E. Encore on peut montrer sans peine i/iie, K (Hant un 

 nombre positif arbitrairement grand, la courbe-liniile lî du domaine D contient, 

 pour ffo assez rapproché de i , c'est-à-dire pour 1 < ct,, < J, := c, ( K), dans son inU'-rieur 

 un cercle de rayon K ayant son centre en O. 



(*) l'ar re\[)re5sion : la fonction f{s) prend, iiiliniiiienl piés de la droite verticale 

 ff =z !7|,, la \aleur«, j'entends que la fonction f{s) [irend l.i valeur /( dans la bande 

 Co — < 7 < Cq -i- 0, étanl une quantité positive arbllraireuieiil pflllc. 



(•■) Dans un Mémoire : Ueber die Funktion ^ {s ) (qui païaîtra bientôt dans uu 



