Il46 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur les systèmes de Lagrange à paramètre 

 principal. Note de M. E. Delassus, présentée par M. Appell, 



1. Un système S de n équations différentielles ordinaires du second 

 ordre déterminant les «paramètres a, 6,, ..., />„_, en fonction delà variable? 

 sera dit à paramétre principal a s'il possède n intégrales premières où les b 

 ne figurent que par leurs dérivées b' \ l'élimination des b' entre ces n inté- 

 grales fournit alors l équation principale 



F(a, a' , t) = o, 



qui donne l'intégration complète de S par quadratures chaque fois qu'elle 

 est intégrable par quadratures. C'est, par exemple, ce qui arrive forcément 

 quand les n intégrales sont indépendantes du temps, car l'équation prin- 

 cipale est alors de la forme 



¥{a,a') = o. 



2. Si un système S, résolu par rapport aux dérivées secondes, est de la 



forme 



( a"=K{a', b', a. b. t) 

 ( S ) (i :=\.i .... n — I ) , 



^ ' I bi^^,{a',b',a,b,t) y ^ ' ' 



les K et les B étant des formes quadratiques de a', h'^, ..., b',^^,e/ esta 

 paramétre principal au moyen de n — i intégrales linéaires I,, ..., I„_, et 

 d'une intégrale .\ algébrique et entière par rapport auw a', b', non linéaire et 

 ne se réduisant pas à une intégrale linéaire en vertu des intégralesl, l'équation 

 principale, algébrique et entière en a' , ne contient jamais de terme du premier 

 degré si elle est indépendante du temps. 



Soit 



l'intégrale J, / étant un polynôme entier de degré m en «', b' , ..., 6„ ,. En 

 y transportant les />' tirés des intégrales I et qui sont fonctions linéaires de a' , 

 nous aurons l'équation principale 



¥{a',a,t)-h, 



F étant un polynôme entier de degré m en a'. On en tire l'équation du 



second ordre 



ÔF , ÔF , dV 



ôa On ai 



