SÉANCE DU 29 AVRIL 1912. Il49 



analogues; je me bornerai à en indiquer un des exemples les plus simples; 

 on se rendra compte aisément des modifications par lesquelles on se rappro- 

 cherait encore davantage de l'allure de la fonction H de Boltzmann. 



Soit X un nombre de 10" chiffres, et a la valeur absolue de l'excès du 

 nombre des chiffres pairs sur le nombre des chiffres impairs; si a est infé- 

 rieur à io"~', on posera j = '|(a?) = o; si a est compris entre io"~'[î et 

 io"~'(P + i), P étant un entier, on prendra j=p. La fonction y est 

 définie pour les valeurs entières de x comprises entre o et 10'""; on peut 

 ramener, par un changement de variable linéaire sur x, cet intervalle à 

 coïncider avec tout autre intervalle, o— i par exemple; mais on obtient 

 ainsi seulement une courbe discontinue en escalier. Voici comment on peut 

 avoir une courbe continue. Soit x un nombre compris entre o et i, écrit 

 sous forme de fraction décimale; soit Xy le nombre entier formé par 

 les 10"' chiffres qui suivent immédiatement la virgule, x., le nombre entier 

 formé par les 10": chiffres suivant ceux-ci, x^ le nombre entier formé par 

 les io"> chiffres suivants, etc. Désignons par v^ le nombre ^J; (ir;t) qui cor- 

 respond à l'entier xj^ suivant la règle précédemment expliquée; nous 

 poserons 



y =:cp(j:) = r, . lO-^i-i- J, . l0-">4-. . . -H Ji- I0~"* -(-.... 



Si les entiers fixés une fois pour toutes n,, «o; •■•■> ''a? •••; ^u ^2» •••> 

 a;t) ••• sont convenablement choisis ('), cette fonction _/ a les propriétés 

 suivantes : 



1° Elle est continue et n'admet pas de dérivée. 



1° Elle est, en général, minimum en général et reste en général égale à son 

 minimum \en g'eWra/ signifiant ici : 1° que l'ensemble des points où la fonc- 

 tion n'est pas minimum en général est de mesure nulle et 2° que si l'on 

 entoure un point x^ qui rend la fonction minimum en général d'un inter- 

 valle a7,.r2 suffisamment petit, la mesure relative de l'ensemble des points 

 de l'intervalle où la fonction n'est pas égale à ce minimum «p (a;,,) tend vers 

 zéro avec l'intervalle, tandis qu'en tout autre point de l'intervalle la fonc- 

 tion est supérieure à ^p (-1^0 )]• 



3° Tout point où la fonction n'est pas minimum peut être regardé comme 

 un maximum en général (exception faite au plus pour une infinité dénom- 

 brable de points). 



Les notions de minimum en général et de maximum en général s'éclair- 



(') Ces entiers doivent èlre pris croissants avec l'indice A, les a croissant moins vite 

 que les n. Je préciserai le mode de croissance dans le Mémoire détaillé. 



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