Il5o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



cissent si l'on introcluil la notion ([ue je crois nouvelle de dérivée en moyenne. 

 Une fonclion <i^{x) admet une dérivée en moyenne à droite déllnie par la 

 relation suivante, sous la condition que la limite existe : 



On définit de même la dérivée en moyenne à gauche : 



On peut dire alors que, pour la fonction o(r), les dérivées en moyenne 

 sont nulles, sauf en un ensemble de mesure nulle. En presque tous les 

 points où ces dérivées ne sont pas nulles, la dérivée à droite est — oo et la 

 dérivée à gauche + co, ce qui caractérisera, par définition, un maximum en 

 général. 



Une fonction n'est certainement pas déterminée par la connaissance de 

 ses dérivées en moyenne, du moins lorsque celles-ci sont fréquemment égales 

 à ± co. Il serait au moins nécessaire de connaître en outre, en ce cas, l'ordre 

 d'infinitude et la partie principale de l'intégrale qui les définit en fonction 

 de l'étendue de l'intervalle d'intégration. 



Les exemples que je viens d'esquisser, et que je développerai avec 

 d'autres dans un travail plus étendu, montrent qu'il est possible de donner 

 des modèles analytiques continus des fonctions discontinues de la physique 

 moléculaire. Létude abstraite de ces modèles peut être faite indépendam- 

 ment de toute considération physique et conduira certainement à des 

 résultats intéressants au point de vue mathématique, peut-être à des 

 suggestions utiles au point de vue physique ( ' ). 



Cette méthode aiithmélique et analytique pourra aussi être rapprochée 

 de la méthode géométrique à laquelle j'ai consacré une Note récente (-). 



(') J'ulilise pour les démoiislrations de celle Note la lliéorie des probabilités 

 dénombrables que j'ai développée il y a quelques années {Rend, di Palermo, t. XWII, 

 1909). A ce propos, je ferai observer que la démonstration donnée dans ce Mémoire, 

 p. 2/48-25i,pour un théorème fondamental, dans le cas des probabilités indépendantes, 

 s'étend, dans des conditions très larges, au cas plus général des probabilités non 

 indépendantes. Les objections faites récemment par M. Bernstein contre l'application 

 de ce théorème ;i la théorie des fractions continues sont donc aisées à lever. 



C) Comptes rendus, i5 avril 1912. Je profile de roccasion pour préciser el com- 

 pléter en deux points cette dernière Noie. Dans l'énoncé sur le cube à N dimensions, 



