SÉANCE DU 6 MAI 1912. 1209 



OÙ/; (r ) est holomorphe à l'intétieiir de ( C) et peut dépendre de £, ainsi 

 que 7-,,^,, a, et ^,. Soit maintenant ajj un point quelconque pris à l'inté- 

 rieur de (C); de .r„ comme origine décrivons dans le sens direct 

 autour du point a; ^ o un lacet simple / , laissant le point singulier x = i 

 à son extérieur^ et soit (v,, Jj ) un système fondamental d'intégrales de(E') 

 prenant en x^, ainsi que ses dérivées, des valeurs indépendantes de t. 

 F_,orsque x décrit le lacet -(^, (■»',, y^) subit une substitution linéaire 

 S(Sj, = Aj, + Bj2i Svo = Cj, + Dj.,) dont les coefficients A, B, C, D 

 dépendent en général du paramètre t. Cela étant, faisons tendre t vers o, 

 et choisissons /•,,5,, a,,?i et/>(a;) de telle sorte que (E') tende vers une 

 équation limite bien déterminée (ej ; ceci exige que l'on ait r^ = / M- Y£~', 

 5, = 5 — Y^ ') a, = a + 0£~', fl, = j3 — û£"'; /•, s, a, p, y, restant finis 

 quand t tend vers o, et l'équation limite (e ) s'écrit 





f/j;' 



j^' 



elle possède en a; = o un point singulier re^;//w" ou irrégulier, suivant qu'on 

 ay= o ou Y 7^ o. D'autre part, £ tendant vers zéro, le lacet 4^ devra se 

 déformer en môme temps de fa(;on àlaisser toujours £ à son extérieur. 



Je me suis proposé de rechercher si la substitution S correspondant à .(^ 

 tend vers une limite quand i tend vers zéro, et de calculer cette limite dans 

 l'affirmative. J'ai trouvé que, en général, pour y = o les coefficients de S, et 

 pour y ^ o des combinaisons convenablement choisies de ces coefficients tendent 

 vers des limites bien déterminées qui se laissent calculer à l'aide de l'équation 

 limite (e). Indépendamment de son intérêt propre, cette question une fois 

 résolue trouvera, comme je le montrerai, une application très importante 

 à la théorie des équations dllFérentielles dont les intégrales ont leurs points 

 critiques fixes. 



Dans celte première Note, je me bornerai à indiquer la solution pour le 

 cas particulier très simple où l'on a a, = (ï, = yo(a;) = o; ce qui justifie 

 celte étude, c'est qu'elle permet de traiter un cas d'exception qui échappe à 

 la méthode générale. 



2. Appelons (e ) l'équation (E) correspondant aux données précédentes, 

 et soit (ji, jo) un système fondamental de (e) défini par les conditions 



ji(^„)=i, _y; (a.-o) = 0, j2(X(,)=o, y',{x»)=i. 



Un trouve aisément 



S/i = Ji et Sj-2 = Lr, + «-^'^''"./î, 



