I2IO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



en posant 



L(j:„. £) = / ,r-''i(a; — s)-'tt/.v. 



Tout revient donc à trouver la limite de L lorsque z tend vers zi'to. ( )r 

 je montre qu'on a (pour r, -f- 5, ^ r ) 



(a) L(^o.£)r^(i-e-'^->.) '^'' '" , F(.y,. /•, + ..,-■. r,4-.s-„i-) 



+ e— '-, ( ■ - .— '^) r(r, + .,--.)r(.-..,) ^,_,. _,^^ 



F désie^nant la fonction hypergéométrique de (jauss; pour r, + s, = i , on 

 obtiendrait une formule analogue. La limite clicrcliée résulte facilement de 

 la formule (a); plus généralement, j'ai pu obtenir la proposition suivante 

 qui trouvera son application ultérieurement. Soit 



/( Xo. £ ) = r.r-'-. {se -s. )-•'. V{j^)d-^- 



F(x) désignant une fonction de x holomorphe à l'intérieur de (C). 

 Pour ;-, + ^, — I réel et négatif, 



(l'intégrale étant prise le long du chemin direct Oxo). Pour 7', -f-.v, — i 

 réel et positif ou nul, lim/(a7„, z) = oo, si r, ou 5, n'est pas un entier négatif 



ou nul; si r, est un entier négalif ou nul, \imf(a-„, £) = o; si^, esl un entier 

 négatif ou nul, 



liin/(,î-o, £) = f ■c-o;-*-'',) F(.c) dx, 



A désignant un lacet simple direct décrit de .r^ comme origine autour de O. 

 Enfin, si /•, + 5, — i esl un nombre complexe, /{x^, z) peut tendre vers 

 une limite (finie ou non) ou vers aucune limite, suivant la façon dont t 

 tend vers zéro. 



Faisons en particulier F(arj = i ; l'énoncé précédent montre quen 

 général pour l'équation (s), la suhstilulion S tend i^ers une substitution 



litniteSde coefficients A = i, B = o, C = (i —e--'"'''i).Tl~'''^''(r, -<rs, — i)~' , 



D = e~-'^"i. Si maintenant /•, et .v, sont de la forme r -\- yz~' et s — ye"', 

 G et D présentent £ = o comme singularité essentielle, mais les combinaisons 

 linéaires A, B et 



C — e-'^"-[xl"-'{i — r - 5)-' G( /■ + s — i, r + s, —yx-')-hT{r -h s — ,) y'-'--']i:) 



