SÉANCE DU 6 MAI 1912. 121 I 



tendent vers des limites finies et bien détenninées : i , o el 



x\-'-'{r + a — 1)"' G (/•-(-.? — I, /• + .<, — 7-r,,') — g-î"' '■-+* r(/- + 5 — 1 )yi-'--.<, 



(i^a, a + I, «^ désignant la fonclion enlière 



^ a. -k- n n\ 



n — tl 



I our /■ + ^ — I ^ o, on aurait un énonce analogue. 



GÉOMÉTRIE. — Sur la (jiiadralure des surfaces courbes. 

 Note de M. Zoàkd de liEoczE, présentée par M. Emile Picard. 



Soient a-, v, z et u, v, t deux systèmes d'axes de coordonnées rectangu- 

 laires. Soit P le rectangle du plan uv qui est limité par les lignes u = o, 

 u = u = const. > o, r = o, (' = t» = const. ^ o. Le point uv variant dans P, 

 soient o. '^, y des fonctions bornées, uniformes et continues du point ui>. 

 Les équations x, y, :■ = o, ']', y définissent une surface R. On trouve, à 

 l'aide des sections / = const., des surfaces t = o, <^, y (qui sont situées dans 

 l'espace u, ç-, /), une condition nécessaire pour que l'aire T de II soit finie 

 (voir ma Note dans les Comptes rendus du l'S mars 191 1). Cette condition est 

 aussi suffisante, on démontre ce fait par la construction de A, qui est un 

 élément de la suite des polyèdres qui définit T. On construit A à l'aide des 

 sections / ^ const. des surfaces t = w^ -h b!^ -h cy , rt, /;, c étant des 

 constantes telles que abc ^ o. 



Mais pour certaines classes de H on peut obtenir des résultats par des 

 artifices spéciaux. C'est ce que je vais indiquer. 



Les équations x, y, î = 9, 'j', /_; m, (c) = const. définissent une ligne 

 courbe. On sait que la longueur de cette ligne considérée comme fonction 

 de u, (v) est semi-continue. Nous supposons dans tout ce qui suit que les 

 intégrales par défaut de ces fonctions prises entre les limites o et u, respec- 

 tivement entre o et r, soient finies, et que la longueur du contour 11 soit 

 finie. 



Théorème L — Lorsqu'il existe une constance positive G de manière que, 

 pour v^^v, 



!?(«> ''1) — ?(". i')l + l>]^("'''i ) — ■!'("• <•)! + /.("> ''i) — /.(«. c)! <G| (■,— ('], 



T est finie. 



