SÉANCE DU l3 MAI I912. 1289 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques cas singuliers de l'équation 

 de Volterra. Note(')de M. Patrick Iîrowxe, présentée par M. Emile 

 Picard. 



1. L'équation 



r" 



(,) /(.r)=x«.l>(x)-+-X / M'^,t)f{lx)dt 



oii : \° \a\i\ ^\b\i\ ^ et la partie réelle de a est plus grande que — i si a et b 

 ont des signes opposés; 2° ■]^(o)=/:o et '\i{x) a un développement asymplo- 

 tique suivant les puissances entières de x\ et '6° K(x,y) a un développement 

 du même type en x et y, a la solution 



J^^^i ~ (i — \c^) e>-'-.(i - >.c,) e"'-'-. . . . ( 1 — Xc„) e>'<^" . . . 



dans laquelle F(.r, a, A) est une série entière des puissances de X, et l'on 

 pose 



r'' 



'c„= / l"+^K{o, t)dt. 



Les facteurs exponentiels peuvent être nécessaires quand une des limites 

 est ± I ; ils ne le sont pas quand les deux limites sont moindres que l'unité 

 en valeur absolue. 



Pour établir ce tbéorème, on démontre par induction que si Ton pose 



(D(j:) = /(x) (I - >.Co) (I - >.c,) . . . (i - "ac„), 



on trouve 



a>(A-) = Ao(x) -I- ÀA,(jr) +. . .-H ?."A„(.r) -t- >."+' u(a:), 



OÙ u{x) satisfait à une équation de la forme 



u{x) — a;"+'^h{a:) + lf K(.r, t)u{tx)dt. 



Cette équation a une solution en série des puissances de \, dont le rayon 

 de convergence croît indéfiniment avec n. On achève la démonstration par 

 un raisonnement facile. 



(') Présentée dans la séance du 6 mai 1912. 



