1290 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2. L'équation homogène 



(2) f{x) — lf \U.i-, ()f{tx)dt 



a les solulioris 



OÙ les p so/il les racines de l'équation 



< 



/PK(o, l)dl. 



Il faul prendre seulement les racines dont la partie réelle est plus grande 

 que — I quand une des limites est zéro, ou quand elles ont des signes 

 opposés. 



Ce résultat nous permet de résoudre l'équation (i) dans les cas singuliers 

 où 



Cn 



Dans ces cas, on trouve une solution logarithmique 



(T'„( r) étant une solution de l'équation homogène. 



3. En difTérenliant/> fois par rapport à y. la solution de l'équation (i) 

 nous trouvons la solution de l'équation 



/(a,-) = *-^(los.«)"']>(^) + >. r K(,r, t)f(,t.r)dt 



sous la forme 



^ _, j'«[Uo(j;, «,>-) + Ui(a.-, g, À) 10^.77 + . ■■+Up(j-. a, ?.)(log.r)P] 

 J^'^'- [(i-),c„)e>-.(i-/c,)e>'''. ...(i-7c„)e>--. ...]" 



les U(j;, a, X) étant des fonctions entières de X. 

 Dans les cas singuliers où i — Xc„=^ o, on trouve 



/(^•) =^'«| V„„(,r) + V,„(,r) log.r -+-...+ V,, , ,,„(^-) (log^O''^']. 



A-'V^j+i „ (x) étant une solution bien déterminée de l'équation iiomogènc. 



■4. Tout cela s'applique bien aisément à Véqualion de Vollerra 



f(x) = a-«(log.r)"J;(.r) -)- l f N(.r, f)/{y)dy, 



