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saire et suffisante pour que l'hélice génératrice indéformable constitue un 

 des systèmes d'asymptotiques de la surface, est que la relation 



N 



(3) LcosY + M siiiy = — 



A' 



entre la fonction )(^ et les fonctions />, c/, ..., ir soit identiquement vérifiée. La 

 méthode appliquée dans le Mémoire précité au problème de la recherche des 

 hélices indéformables constituant une famille de géodésiques de la surface 

 s'applique encore ici et conduit aux résultats suivants que je me borne à 

 énoncer. 



I. Thkorème. — Les seules surf aces admettant une famille cl' asymptotiques 

 constituée par des hélices superposahles sont des hélicoïdes. 



II. En choisissant l'axe des x parallèle à la caractéristique du plan xOy^ 

 ce qui est possible comme le montre le théorème précédent, on a 



(4) q=-o, rz^Cp, 



et la fonction / qui détermine la forme de la génératrice est définie par 

 l'équation différentielle 



,5, |;[(«-.)„.,_c]..„4.,,.^(z:y 



D'autre part, //, c et w sont alors déterminés par des équations du premier 

 degré, de telle sorte qu'à une solution de l'équation (5) correspondent une 

 génératrice et une surface répondant à la question. 



lïl. ]^n posant, pour simplifier les écritures, 



(6) T^-rr = ^-' FTT=="' FTT=""' •^^>'-^= sinz ' 

 et faisant le changement de variables défini par 



(7) 4^=^', 



A» 



l'équation (5) devient 



d'où le résultat suivant : 



La résolution du problème que nous étudions se ramène à des quadratures et 



