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co(j-„, e). Ce qui fait l'intérêt de ce résultat, c'est qu'il évite la discussion 

 de L(.i-o,£) pour £ infiniment petit; cette discussion a été faite dans ma 

 Note précédente pour un cas particulier, mais elle est singulièrement 

 difficile en g^énéral. 



2. A cet effet, décrivons de x„ comme origine et dans le sens direct, un 

 second lacet J^, autour de .r = £, laissant .r = o à son extérieur. On peut 

 établir pour la substitution S, correspondant à r , des formules analogues 

 à (i) et faisant intervenir deux nouvelles expressions w, {x^, z) et L, {x^, z) 

 correspondant à w (a;„, £) et à L (x^, z). Or le produit de S„ et S, est égal 

 à la substitution 1(IY, = AY, + BY,, IY2= CY, + DY.) correspondant 

 à un circuit direct décrit de x„ comme origine autour àe x = o et x ^ z. 

 Il résulte de théorèmes classiques et des hypothèses faites sur (E) que 

 lorsque £ tend vers o, A, B, C, D tendent vers des limites finies bien déter- 

 minées, qui sont les coefficients de la substitution S correspondant à un lacet 

 simple direct X, d'origine x„, décrit autour de x^o, dans le plan de 

 l'équation limite (e). Exprimons alors que S„S, = 2 el éliminons co, et L, 

 entre les quatre relations obtenues ; l'une des équations résultantes est 



(2) L(X(,.£)=:.r„ ■ ^' (.ro— £) 



C[i-e ^ '^Jco(.ro,£) + (A-i)| D-e -J_BC , 



^ C(.)*(.r„,£)+(A-D)r„(.r,„£)-B ' 



on voit donc qu'en général L (a;^, £) tend vers une limite bien déterminée 

 s'il en est de même de w (.r,,, £) ; les seuls cas où cette conclusion pourrait 



— 271/1 r-(- , 



être en défaut correspondent àB = o = C, A=:D = e ' oui. Dans 



le premier cas, h(x„, t) s'exprime à l'aide de w(iF(,, i) et w,(a;„, £) ; dans 

 le second, {¥.') possède une intégra/e (^ (x, z) holomorphe dans (C). Il faut 

 alors étudier directement L (a7„, £), ce qui a été fait dans ma Note précé- 

 denlc (n" 2) avec F(j;) = ç/'(.r„) s"^(.r) ; par suite, les coefficients de S„ 

 (pour Y = o) ou des combinaisons linéaires convenablement choisies de ces 

 coefficients (pour y i^ o) tendent vers des limites bien déterminées. 



3. Il s'agit donc d'étudier si co (^T;,, £ ) tend vers une limite lorsque z tend 

 verso. Supposons, pour abréger le langage, les coefficients de (E') réels 

 et y' <[ o par exemple ; prenons pour £ une quantité négative de module ar- 

 bitrairement petit ; j'ai établi que si r el s sont supérieurs « i, w (x„, z) tend 

 uniformément vers une limite déterminée, quel que soil le nombre positif x,,, 



