SÉANCE DU 20 MAI 1912. l33-] 



inférieur à une quantité a [ne dépendant que des coefficients de (E') autres 

 que t\. 



La considération de (E') montre qu'il suffit d'établir une proposition 

 analogue à la précédente, mais où (p {x^,, t) remplacerait w (a7„, t) ; or j'ai 

 démontré cette dernière proposition à l'aide de la méthode des approxima- 

 tions successii'es. Posons r„ (-) = i ; on peut représenter ©(a?„, e.) par le 

 développement 



9('J"o,£)=/o 



où l'on a 



^\-r-s /y y \ /»'o / î \ I — c-i 



i- — ^ > — I + /■ -f- .ç. /■ + .?, 



X ■-'"('- i)"'"=-<'-' 



-j: 



- > '<' ' .ç — ^ , — I + /• H- ,ç, /• + 5, - ) r„ du-. 



XI \ £ JT 



avec 



^«= [J + ^, - :^:^:F=r7)]/" (f ) ^/^'./"-.(y) -• • ■ + r«-- 



Or, quand £ tend vers o, et sous les restrictions faites sur r ç.\s, ce déve- 

 loppement converge (uniformément pour o <| x^<C. «) vers le développe- 

 ment 



(^) 9(J7„) = Yo(x„) -+-... + Y„(x„)+..., 



où l'on a Y„(;c„)= I et où \„+,(cr„) se déduit de Y„(.r„) par une formule 

 analogue à (3), mais où >',( — ) est remplacé par \,(j') et les termes dépen- 

 dant de £ par leurs limites. Mais la série convergente (4) représente la valeur 

 en x^ d'une branche d'intégrale de l'écpiation limite (p) ; celle branche est 

 d'ailleurs parfaitement définie par la condition de tendre vers i lorsque .r„ 

 tend vers le point iri-égulier x = o à rinlérienr d'un angle aussi voisin de - 

 qu'on le veut. Je reviendrai sur ce résultat au point de vue de l'élude des 

 intégrales de (e) dans le voisinage d'un point irrégulicr, cl je me borne à 

 renianjucr que la proposition précédente fournil la réponse au problème 

 actuel : rapprochée en. effet de (i) et (2), elle montre que (pour y = o) les 

 coefficients de S, et (pourY:^o) des combinaisons linéaires convenables 

 de ces coefficients tendent vers des limites finies : c'est bien le résultat 

 annoncé dans ma Note précédente. J'en ferai prochainement une applica- 



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