SÉANCE DU 20 MAI 1912. l339 



remplaçanl par la fonclion harmonique remplissant les mêmes conditions, 

 non plus sur la surface lil)re, mais bien sur la sphère S elle-même. 



La formation de l'équation intégro-difTcrcnticlle des petits mouvements 

 de surface est alors immédiate. Soit y(M, l*) la fonction de Neumann de la 

 sphère('). Nous pouvons écrire 



(3) ^nR'!^,. = r-^_ f fz„y{M, P)rfS,„ 



r désiffnant la distance au centre d'attraction du point P intérieur à la 

 sphère et M un point de la surface de la sphère. En traduisant la condi- 

 tion (2) il nous vient l'cqualion cherchée 



(4) 



4 ttR (h '^ ^ 5p) + A, jY 3m y ( M, P) f/S,, = o. 



en désignant par A., le paramètre différentiel du second ordre de Beltrami 

 relatif à la surface de la sphère. 



Il faut d'ailleurs remarquer que les considérations précédentes généra- 

 lisent seulement ce qui pour le cas delà pesanteur est relatif au cas du 

 fluide indéfini. On peut donc se demander si ici encore les solutions de 

 l'équation (/|) ne vérifient pas une équation aux dérivées partielles. La 

 réponse est affirmative. On peut s'en rendre compte immédiatement en 

 généralisant une méthode donnée par M. Boussinesq ( ' ) pour établir dans 

 le cas du fluide pesant l'équation de Cauchy. On considère pour cela la 

 fonction harmonique auxiliaire 



01' dr 



Elle s'annule sur la sphère (S) en vertu des conditions (i) et (2). Donc 

 elle est identiquement nulle à l'intérieur. Au moyen de dilTérentialions 

 appropriées, on en déduit que :; est solution de l'équation aux dérivées 

 partielles 



(5) R(H^ + Jr)_,A30^o. 



Enfin si l'on considère le mouvement du liquide limité par un cône de 

 sommet o, on peut voir sans difficulté que la fonction Y est identiquement 

 nulle dans le volume compris entre ce cône et la sphère (on a en effet V = o 



(') \'oir Hadamard, Propagation des ondes, Chap. I. 

 {') Application des potentiels, elc, § IV, p. 678. 



