l/ioo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Considérons deux surfaces S cl S' et cherclions s'il est possible d'clahlir 

 entre elles une correspondance point par point, telle (jue les deux fonctions 

 z et z' et leurs dérivées [)artielles satisfassent aux quatre équations 



ixa:' = y -h j\ 2r ■+ r/ = o, a a-' -+-(/=; o, 



(-f)('"-'f) = - 



De ces équations on lire 



(2) dz' = fa:"- + y — ~-,\da:'—2a-dy'. 



En intégrant par parties 



j.v-d.i'— 2xdy'=œ^.r'—2.rr'—2 l {xx' — y')dx, 



en tenant compte des équations (i), celle expression s'écrit 



q — 4-2 xy — 2 / ,l' fZ-P 

 et par suite 



■^' r '''I , 



z == Cl 1-2 xv — 2 / -; — : 4- y dx. 



'2 -^ J '\p — >/' ■^ 



La condition d'inlégrabilité est 



{'aP-tY 



Celle équation exprime que la surface Sa sa courl)ure totale constante et 

 égale à l'unité ; il en est de même de S'. 



Les équations ( i) et (2) définissent donc une transformation des surfaces 

 à courbure constante. 



On peut effectuer sur xyz une transformation linéaire qui n'altère pas la 



forme y- -t- zx ; la transformation la plus générale est une combinaison des 



suivantes : 



, ,, , [ x — mx^. 



1 r = j^,-H 2/(},— /(^c,, 1 :r = .r,, l 



I. )v=r,-Ac,. 11. y^j,-t-/-.T„ III. P' = -''- 



h,k Ci m désignant des paramètres variables, an\(piels on peut adjoindre la 

 transformation 



