SÉANCE DU 28 MAI I912. l4o.3 



De là, nous déduisons que l'équation homogène 



/(j:) = >./,(.c)/(f..r) 



a les solutions 



/(.r)=zxPU(^,P,/,), 



où 



1 — /.C|J.f =1 o, 



c'est-à-dire 



m tu — log(>. o) 



(3 = 



log/j. 



n étant un eiilier quelconque ou zéro. 

 La solution (a) n'est plus valalile quand 



I — lciJ."^^~ o. 



Dans CCS cas sinj^uliers l'équation (i) a une solution logarithmique 



/(.f) = .i-='[«„(x) + r„(.r)log,r], 



la fonction x'^Vn(x) étant une solution de l'équation homogène. 



2. A l'aide de ces solutions, nous pouvons résoudre l'équation intégrale 



-.1 

 (2) f{j:)^h{.v)f{^.i-)=^x^'\,{x)-\-'l.l K{x,l)f[l.v)dt, 



"- I'- 



où la nouvelle fonction K (a-, /) a un développement asymptotique suivant 

 les puissances entières de x et t. 

 Nous obtenons 



(6) /(.r) = ^ .r-\Hx;c.,l) 



(I - Ac„) e'--.(i - Xc,) e'--.. . .{I — ).c„) e'"---. . . 

 en posant 



C,i= — ; (« = O, t. 9., . . .). 



L'équation homogène 



f{jc) + Uyx)f{^x) = 1 f K(x. t)f{lx) cil 

 ' rt 

 aies solutions 



f{x)=x'i'¥{x,l^,l), 



les p étant les racines de l'équation 



-1 1 

 + ciJ.<^ ~'f. I /P K ( o. i)i.lt = o. 



■-'a 



