l4o4 ACADÉMIE UES SCIENCES. 



La solution (h) n'est plus valable quand 



), = — (/) =0, 1,2, . ..)• 



c" 



Dans ces cas singuliers, l'équation (2) a une solution logaritlimique 



/(.r) = -i-*[U„(.r) + V„(x)logx], 



l'expression ;c''V„(./;) étant une solution de l'cqualion homogène. 

 La solution (h) est aussi en défaut quand 



I •+- cfjt.''+*= o (r =r o, I, 2, . . .). 

 Alors l'équation 



admet une solution 



et l'équation (2) a la solution 



/(,.) ^ _ + p(^,>.) ' 



OÙ : i" G (a:-, a, ï.) est une série entière des puissances de A; 



2° P{a,l)—{i-lco)e'''o{,—lci)e''-....(i-lcr^,)e'-'-r-,{i-lc,+,)c''-r+<...(i—lcn)e'' '■...-, 



3° k est une constante déterminée. 



On déduit comme auparavant les solutions logarithmiques dans les cas 

 singuliers. La valeur 



C,. 



n'est plus une valeur singulière. 



Mais il y a encore exception quand nous avons en mémo temps 



1 + 6-/./.'"'*= 



et 



Alors la solution sera logaiilhmique quelle que soit la valeur de X. 



3. On peut aj)pli(jucr les résultats ci-dessus à l'équation 



f N{a;l)/(t,j-)dl = ^^g{x), 



(pie nous pouvons a|ipi'lfr, en suivant lun' indication de M. \'olterra, 

 problème généralisé rl'Ahe/. ^ous réservons cette applicalioii. 



