SÉANCE DU 28 MAI 1912. 



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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la fonclion de Grecn relative au cvlinlre 

 fie révolution. Note de M. Paul Lévy, présentée par M. iMiiile Picard. 



La mélhodc que j'ai indiquée dans ma Note du 8 janvier et dans un 

 Mémoire publié dans les Uendiconli del Cij'colo Matemalico di Palermo, pour 

 la détermination de la fonction de flrcen dans le plan, peut s'étendre au 

 cas de l'espace. En vertu d'un raisonnement analogue à celui que j'ai indi- 

 qué dans le cas du plan, il est très vraisemblable que les équations obtenues 

 par cette méthode déterminent parfaitement la fonction de Green, s'il en 

 est ainsi pour une surface particulière, et c'est le cylindre de révolution 

 qui conduit aux résultats les plus simples. Il semble même que cette 

 méthode constitue le procédé le plus direct pour obtenir la fonction de 

 Green relative à cette surface. 



En désignant par g^ la fonction cherchée, nous poserons 



d' 



4' 



ï c//i \ (//(]1 



= »F,î — q^(( 



A et B étant deux points delà surface, la longueur d'un des arcs de paral- 

 lèle compris entre les génératrices de ces points, et z la distance des paral- 

 lèles de ces deux points. Nous supposerons le rayon du cylindre considéré 

 pris pour unité. Remplaçons-le par un cylindre de même axe et de rayon 

 différent, et égalons les expressions de la variation de W^ déduites, l'une de 

 la propriété d'houiogénéité de cette fonction, l'autre de l'équation aux 

 dérivées fonctionnelles qu'elle vérifie. Les dérivées normales de '*!'"„, qui 

 figurent dans ces expressions, s'éliminent si l'on tient compte de ce que la 

 fonction de Green est harmonique et s'annule sur la surface, et l'on trouve 



(0 



1^(ô,c) 



dW(B,z) 





Si l'on cherchait à représenter W (J), z) par une intégrale de la forme 



(2) W{6,:) = ^ V{0,t)coszldt, 



et F (0, l) par une série de Fourier de la forme 



(3) 



l<(0,O 



-/'o(0+y /'«.(Ocos«0 



C. R., igu, 1" Semestre. (T. 154, N" 22.) 



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