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et si l'on cflecluail les calculs sans précaution, on trouverait que /'„(/) 

 vérifie l'équation 



(4) <a;,(<) + /';,(0 = o. 



En réalité, ^(6, s) devient infinie pour = s = o, et l'intégrale (i) n'a 

 pas de sens. Cette fonction peut bien être représentée par une intégrale de 

 la forme (2), mais F(0, /) ne peut pas l'être par une série de la forme (3). 

 On évite ces difficultés en supposant le point A intérieur au cylindre, à une 

 distance rde l'axe, et en faisant tendre r vers i. Au lieu de /'„(/), on intro- 

 duit alors des fonctions bien déterminées /«„(/, r), et /(„ (/) peut être défini 

 comme limite de /<„(/, /•) pour / = i . Mais dans ces conditions l'équation (4) 

 n'est pas exacte, et l'on a l'équation de Riccati 



(.5) lh'„(t) + />l{t) = n-+tK 



Il est facile devoir que /'„(/) est l'intégrale de cette équation prenant la 

 valeur 71 pour / = o. 



Les fonctions A„(/) étant obtenues, la formule (3), où figure une série 

 divergente, peut être remplacée par la formule 



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qui définit F(0, t). On a alors par la formule (2) l'expression de ""Fb sur 



la surface, et par la formule de Green celle de -^ quand B est inlé- 



rieur au cylindre. La connaissance de cette fonclion résout le problème de 

 Diricblet. 



L'emploi de la formule de Green donne lieu à une difficulté, à cause de 

 la singularité de la fonction clierchée quand B est voisin de A. On l'évite, 

 ainsi que celle qui provient de l'emploi de séries divergentes, en inter- 

 vertissant l'ordre des opérations qui permettent d'obtenir la fonclion de 

 Green quand on connaît les fonctions A„ (/). On applique à ces fonctions 

 une formule transformée de la formule de Green, 2 lois ou 1 suivant qu'on 

 veut obtenir la fonclion de Green ou sa dérivée normale. On obtient ensuite 

 la fonction chercbée par des formules identiques aux formules (2) et (3). 



J'ai cberché aussi si la fonction ^Fg peut être déterminée en utilisant sa 

 propriété d'bomogénéité et l'équation aux dérivées fonctionnelles ipi'elle 

 vérifie, sans tenir compte de ce que la fonclion de Green est harmonique. 

 < )u Irouvc dans ce cas deux é(pialions intégrales en W ^ dont les transformées 



