SÉANCE DU 3 JUIN 1912. l'jtjS 



Dans le cas particulier où A est weierstrassien, si l'on désigne par A un 

 domaine weierstrassien quelconque intérieur à A, il est aisé de voir que si 

 la série ( i ) converge absolument et uniformément sur le contour de A, elle 

 est liyperconvergente dans A', car on peut choisir comme D„ relatif à /„ (z) 

 un domaine A, indépendant de /î, intermédiaire entre A' et A ; le nombre X 

 est alors le même pour toutes les fonctions /„ (3) et la série des nombres 

 hypermajorants se réduit au produit d'un facteur constant par la série des 

 maxima //2„ des/„(;) sur A,, série convergente d'après nos hypothèses. 

 Cette remarque montre que le théorème suivant, dans le cas où A n'est pas 

 weierstrassien, est la généralisation directe d'un théorème classique de la 

 théorie des fonctions analytiques. 



Théorème. — Si une série de fonctions analytiques ( i) est hYperconver- 

 gente sur un domaine A, elle définit sur ce domaine une fonction continue 

 admettant des dérivées de tous les ordres {qu'on peut dénommer quasi- 

 analytique). Une fonction quasi-analytique sur A, qui s'annule ainsi que 

 toutes ses dérivées en un point de A, est nulle en tout point de A. 



Si l'on suppose que A coïncide avec un segment de l'axe des quantités 

 réelles, ce théorème fait connaître une classe de fonctions qu'on peut 

 appeler fonctions quasi-analytiques d'une variable réelle et dont les fonc- 

 tions analytiques sont un cas particulier; la somme et le produit de deux 

 fonctions quasi-analytiques sont quasi-analytiques ; la dérivée d'une 

 fonction quasi-analytique est quasi-analytique. 



A toute fonction quasi-analytique sur A on peut attacher un nombre 

 hypermajorant, somme de la série convergente formée par les nombres 

 hypermajorants des termes de ( i ). Une série de fonctions quasi-analytiques 

 est hyperconvergente si la série des nombres hypermajorants est con- 

 vergente; une telle série définit une fonction quasi-analytique. 



Si une fonction quasi-analylique f {z) ne s'annule pas sur A, il existe 

 une fonction <p(;) quasi-analytique sur A et telle que le produit de ç (3) 

 par y (s) soit égal à i. 



L'extension aux fonctions de plusieurs variables réelles ne présente 

 aucune difficulté. 



Dans une prochaine publication, j'indiquerai comment la théorie géné- 

 rale des fonctions monogènes uniformes (analytiques ou quasi-analytiques) 

 peut être exposée au moyen d'intégrales doubles, analogues à l'intégrale de 

 Cauchy, et je signalerai les relations de celte théorie avec la théorie des 

 équations intégrales. 



