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GÉOMÉTRIE. — Sur quelques inégalités dans la théorie des surfaces 

 algébriques. ÎNote de M. Alfreo Rosemilatt, présentée 

 par M. Emile Picard. 



On sait qu'une des plus importantes formules de la théorie des surfaces 

 algébriques est celle donnée par M. No'ther pour la limite inférieure du 

 genre linéaire/?"* de la surface en fonction de son genre géométrique p^. 

 En tenant compte de ce que la série caractéristique du système linéaire 

 canonique peut être incomplète et avoir un défaut o^pg — pa, on a 



(1) /?(')— I^2(/?^„— 2 +Ô). 



L'existence d'une limite supérieure pour />"' était incertaine pour 

 M. Nœlher. Or l'emploi de quelques formules importantes découvertes 

 dans ces dernières années permet d'établir une limite supérieui'e de/j'"' en 

 fonction du genre arithmétique p„. 



Si la surface possède un faisceau de genre r.' de courbes de genre 7;, et 

 si A est l'équivalent des points doubles des courbes, on a la formule 



(2) i2/>„ + 9-/><')=A + 4(--0(Tr'— .)-4. 



Ensuite on a la formule capitale de M. Picard 



(3) 12/Ja+9 — /3") + 4(/^^— ^„) +2 =p+p„, 



p étant le nombre des systèmes base, p„ le nombre des intégrales doublesde 

 seconde espèce. 



Rappelons maintenant le résultat de M. Castelnuovo, d'après lequel une 

 surface possédant/»^ > 2 (p^ + 2 ) possède un faisceau de genre ^ 2 ( ' ). On 

 peut compléter ce résultat de la manière suivante. Supposons qu'il y ait 

 relations linéaires indépendantes entre les binômes 



alors on a 



^d{d—t) , 



L'espace linéaire Sg., coupe une variété algébrique ^21,1— ,, située dans le 



( ' ) Castelnuovo, Suite stiper/icieaventi il génère arilmetico negativo ( Rendiconti 

 del Circolo malemaUco di l'alcnno, I. \X, iQoS). 



