SÉANCE DU 3 JUIN 1912. l495 



même espace S,,,,,_, en une variété algébrique de dimension au moins 

 égale à 



OU bien en plusieurs variétés dont la dimension n'est pas inférieure à 



/'ff— 2(/J„+^)• 

 0^ il est évident qu'une telle variété représente les droites d'un espace 

 linéaire S^_, contenu dans l'espace linéaire S,/_, de M. Castelnuovo. Donc 

 on a 



A l'espace' S„_, correspond d'autre part un faisceau de genre -û' de courbes. 

 Comme on peut supposer le genre - de ces courbes au moins égal à 2, car 

 les surfaces de genre p'^ 1 n'ont pas de systèmes de courbes elliptiques, 

 on tire de (2 ) l'inégalilé 



(4) /,c)<,6/,„-2/>„-+-.7. 

 Les inégalités (i) et (4) donnent alors l'inégalité 



(5) /?^i4u^..+ i). 

 On a supposé ici /)„^ 2 (/>„-!- 2). Mais si l'on a 



(6) Pg^lipa+'î), 



alors la formule (3) de M. Picard donne 



(7) />")<i6y^„4-27. 



Je me propose de revenir ailleurs sur ces inégalités. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités des surfaces. Not-e 

 de M. Gustave Dumas, présentée par M. Àppell. 



Dans une précédente Note (0, à laquelle se rapporte ce qui suit, j'ai 

 donné un moyen de résolution des singularités des surfaces. 



Aujourd'hui, je voudrais, en résolvant complètement la singularité que la 

 surface 



( I ) j'° — 4 j' 2 + 4 .r^r» -f- .r"/" — .r' -)- 23 J-* r' z''=o 



(') Comptes rendus, t. loi, 1911, p. 682. 



