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Je me servirai, dans ce qui suit, des notations de Monj^e. 



D'après la théorie générale des transformations de Backlund, les équa- 

 tions cherchées ne peuvent être que des équations de Monge-Ampère et 

 même, d'une manière plus précise, des équations linéaires par rapport à 

 r, .ç, / : écrivons une telle équation 



/■ + (/?(+ p.).? -4- /H |JL < -t- M = o, 



en désignant par m, tjt., M des fonctions de a-, y, z, p, q. Un raisonnement 

 trop long pour être reproduit ici montre que les fonctions m, [j. doivent 

 dépendre de a; et y seulement ; il est donc toujours possible d'ciïectuer un 

 changement de variables indépendantes tel que l'équation considérée 

 prenne la forme simple 



(0 * + /(î-, r, ;, /', 7) = ô, 



on est ramené à résoudre pour des équations de ce type le problème que 

 nous avons énoncé. 



La transformation indiquée par Imschenetsky en 18G8 (') est la seule 

 transformation (B,) conservant les variables indépendantes qui soit appli- 

 cable à une équation telle que (i). La fonction / {^i}', =, Pi fj) doit être 

 bilinéaire en p et q, un calcul facile permet d'achever la solution. On 

 trouve, avec les équations linéaires, les équations de Moutard, 



en appelant A, k deux fonctions do a", y, et les équations 

 (3) i-, — /?_,;_, = 0, ^-f-e==o, .s-,— y,;, = o. 



La manière même dont l'équation (2) dérive de l'équation linéaire qui 

 admet h et k comme invariants (-) montre que des transformations d'Ims- 

 chenctsky permettent de déduire de (2) deux équations de même forme. 

 L'une de ces transformations est définie par les équations 



cLv ^ ' cly^ dr (Jy 



(') GouHSAT, Leçons sur les ci/titilio/is nii.r cirriiccs jiarlielles du second ortlre^ 

 t. II, 1». 264. 



(') Ibid., |.. 349. 



