SÉANCE DU lO JUIN 1912. l58l 



en éliminant s, il vient l'équation 



analoo'ue à (2). 



Les intégrales des équations (3) sont liées par les relations 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur des développements asymptuliques divergents 

 qui représentent les intégrales de certaines équations différentielles. Note de 

 M. Jeax Chazy, présentée par M. Painlevé. 



Soit l'équation du premier ordre, considérée par M. Bendixson et 

 M. Picard dans le cas où les coefficients et les variables sont réels (') : 



dy 

 (i) a;" -7^- — j =: «a'-f-/(.r. r). 



où II désigne un entier plus grand que i, a une constante, et/(.r, r) une 

 fonction holomorplie pour les valeurs x =y = o, et dont le développement 

 au voisinage de ce système de valeurs ne renferme ni terme constant, ni 

 termes du premier degré. Considérons dans le plan de la variable a-, 

 autour du point a^' = o, les (« — i) angles où R(a;"~') est positif : les suites de 

 fonctions considérées par M. Bendixson sur l'axe réel sont holomorphes et 

 uniformément convergentes dans tout secteur circulaire de sommet x = o, 

 intérieur à l'un des angles précédents et de rayon suffisamment petit; ces 

 suites de fonctions définissent des intégrales de l'équalion (^i), holomorplies 

 dans le secteur considéré, et dépendant d'une constante arbitraire. En 

 outre, quand x tend vers l'origine dans ce secteur, ces intégrales tendent 

 uniformément vers zéro, et admettent le développement asymptotique mis 

 en évidence par M. Picard sur l'axe réel; c'est le développement unique 

 r = — y.x->r..., qui vérifie formellement l'équation (i), et qui peut être, 

 soit convergent comme dans le cas où y est un facteur dans le second 

 membre de l'équation (i), soit divergent comme dans des exemples clas- 



(') Bem)Ixsox, Acta mathematica, t. XXIV; Picard, Traité d'Analyse, 2' édition, 

 l. m, p. îUj-r'Jj;. 



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