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siques ('). Au contraire, dans chacun des angles où K(x"~') est négatif, 

 les calculs de M. Bendixson donnent une seule intégrale holomorphe et 

 tendant vers zéro, et le développement asymplotique précédent représente 

 encore celte intégale; quand il est convergent, l'intégrale obtenue est l'in- 

 tégrale holomorphe à l'origine. 



M. IJendixson a fait observer qu'on peu! obtenir les résultats classiques 

 relatifs à l'écjualion 



dy 



(2) a:-^ = oy + o'.+J\.f,y) (a^o), 



en appliquant la méthode des approximations successives (-) à cette équa- 

 tion suivant le même procédé qu'à l'équation (i). Mais il est à remarquer 

 cpietoul développement ordonné suivant les puissances entières et positives 

 de a? et vérifiant l'équation (2) est convergent, et que par suite les inté- 

 grales non holomorphes à l'origine ne peuvent admettre sur aucun chemin 

 tendant vers l'origine de développement asymptoti(jue divergent. 



Les résultats précédents s'étendent aux équations d'ordre supérieur. 

 Considérons l'équation du second ordre 



, r,, d'y dv .( , dv 



(3) .,™-w,^_,,,„^+^,^,.,^_y(',,^,,,.._^ 



où m et n désignent deux entiers positifs, k le plus petit de ces deux entiers, 

 a, a deux constantes, ety"( .r, y^ x'' -j- ) une fonction holomorphe des trois 

 variables x, r, a?* -r- pour les valeurs .r = y = a;^ -j- = o et dont ledévelol)- 

 pement au voisinage de ce système de valeurs ne renferme ni terme 

 constant, ni termes du premier degré. 



Si l'on a « > ?/? ^ I, on peut amener au premier membre de l'éipia- 

 tion (3) une équation linéaire qui a deux intégrales particulières de la 



forme e'"~', e'"~', sans que le second mcmin'e cesse de satisfaire aux 

 conditions énoncées. On peut alors appliquer à l'équation obtenue la 

 méthode des approximations successives comme M. Bendixson l'a appliquée 



(' ) BoREL, Leçons sur les séries dii'ergentes, p. 1 16. 



(^) Le procédé est analogue à celui que M. Goursat applique à la même équation {2) 

 (Cours d'Analyse, 1" édition, t. 11, p. 5o4). De même, M. Coltou a appliqué une 

 méthode analogue à l'élude sur l'axe réel des intégrales de certains systèmes diil'éren- 

 liels aux((uels peuvent se ramener les équations telles que ré([uation (3) (Annolrs de 

 l'L'cole Normale, 191 1, p. 473 ). 



