SÉANCE DU lO JllN 1912. l583 



à l'équation (i); les équations difTérentielles successives s'intègrent 

 simplement au moyen de la mélliodc de la variation des constantes. 

 Autour du point a; = o, et suffisamment près de ce poini, dans chacun des 



angles où R (—^i ) el R ( -^^, ) sont négatifs, on obtient des intégrales de 



l'équation (3) holomorphes, tendent vers zéro et dépendant de deux 

 constantes; dans chacun des angles où ces deux parties réelles sont de 

 signes contraires, on obtient des intégrales dépendant d'une seule 

 constante; enfin dans chacun des angles où ces deux parties réelles sont 

 positives, on obtient une seule intégrale. Toutes ces intégrales admettent 

 dans l'angle correspondant le développement asvmplotique unique qui 

 vérifie l'équation (3), et qui peut être convergent ou divergent. 



Si l'on a TO >• « >■ I, ou/i = i, /w>i, on peut écrire l'équation (3) 

 sous la forme 



et supposer que le coefficient jo est entier; s'il ne l'est pas, il le devient par 

 la transformation (x, .r'). On peut former au premier membre une écjua- 



tion linéaire qui admet deux autres intégrales de la forme e"' ', e"'", ou en 



/■ r 



particulier e"'~', e''''"' -^^,- Dans le premier cas, les conclusions sont les 



mêmes que précédemment. Dans le second cas, on obtient, dans les angles 



où R ( -;r=i) ^st négatif, des intégrales dépendant d'une constante, et dans 



les autres une seule intégrale. 



Si dans l'équation (3) l'on a m ^ i, /2> i, on peut former au premier 

 membre une équation linéaire qui admet deux intégrales de la forme 



X", e"^'. Dans les angles où R (—^31) est négatif, on obtient des intégrales 



dépendant de deux constantes si R | r/ 1 ]> o, d'une constante si R|a|<^o; 



dans les angles où R ( — ^ j est positif, on obtient des intégrales dépendant 



d'une constante si R | « | >• o et une seule intégrale si R | « | •< o. D'ailleurs, 

 dans ce cas, l'équation (3) est vérifiée par un développement asymptotique 

 unique qui représente toutes les intégrales précédentes, et qui peut être 

 convergent ou divergent : à moins que a ne soit l'inverse d'un nombre 

 entier positif. 



