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L'analyse de Cauchy permet, en introduisant certaines précisions ('), de 

 démontrer le résultat suivant. Désignons par X les diverses racines, suppo- 

 sées simples, de l'équation transcendante 



1T(3) — O, 



et représentons par /(a) une fonction de la variable réelle x, à variation 

 bornée (au sens de M. Jordan). On a {x étant compris entre x„ et a-,) 



(I) i[/(.r + o)+/(.r-o)l=-iii^e^^y' ' e-V-\f(ix) diJ., 



■'o 



la sommation s'étendant aux racines X de t:(^) : c'est la série de Cauchy. 

 Elle comprend, comme cas très particulier, les séries trigonométriques. 



2. Dans deux Notes récentes {Comptes rendus, 27 novembre 191 1 et 

 2 janvier 191 2), M. André Léauté a fait sur ce sujet des remarques extrê- 

 mement intéressantes. Il introduit d'abord la notion d'intervalle limite, en 

 supposant que z étant toujours dans les mêmes conditions, on ait 



lim i^^ eJ!(^ -^.) —l, lim 'l^^ e^^,-^.) = t, 



/et L étant deux constantes finies. Dans ces conditions, la série qui forme 

 le second membre de (1) est égale à 



et égale à 



/(a-, — o) — //(x„ + o) 



/UVj-o) — L/(^i 



;pour :r = .r,). 



(pour .r — ,r„). 



M. André Léauté a ensuite donné une autre forme à la série de Cauchy, 

 dans le cas nii f{x) a une dérivée y (,r). Pour plus de simplicité, suppo- 

 sons ici quey(a;) et/' (a?) sont continues de x^diXf. En appliquant conve- 

 nablement le théorème des résidus, M. Léauté établit la formule suivante 



( 2 ) /( ^ ) = - V iy_ ^>,x J ' e-X^j, ^^)d^.+ /( ,r, ) Ijjl + /( .ro ) 



7r(o) 



(') On peut consulter mon Traité d' Analyse, 2" édition, t. II, p. 179. Je suppose 

 toutefois que/(,r) satisfasse aux conditions classiques de Diriclilet dans la théorie des 

 séries trigonométriques. On peut aisément remplacer ces conditions par la condition 

 plus large de la variation bornée. 



