SÉANCE DU 17 JULN 1912. 1667 



la sommation étant toujours étendue aux racines A de •!i(s) qui est supposé 

 ne pas s'annuler pour ; = o. Dans le cas où A = o est une racine de n (s), 

 on a la formule 



(3) 



./•(X-) =/(.r, ) - J - .^-i;l^ [/(.,., ) -/(jr„)] - 1 ^^^ e^- J"^\^-^V-f (y.) dy.. 



la sommation étant étendue aux racines de "^{z) (X = o exclu), et J étant 

 une constante égale à 



où A est le résidu, pour :; = o, de l'expression / [/(^i) ~f{^o)\- 



Tandis que la formule (i) de Cauchy n était pas valable pour les extrémités x^ 

 et x^, la formule (2) ou la formule (3) reste valable pour x = x„ et pour 



Après avoir exposé récemment ces résultats dans mon cours, j'ai voulu 

 comparer directement les formules (2) ou (3) à la formule (i). On est ainsi 

 conduit à des identités assez curieuses ne renfermant aucune fonction arbi- 

 traire; c'est ce que je vais indiquer rapidement. 



3. Supposons d'abord que ■::( = ) ne s'annule paspour :; = o. Enintégrant 

 par parties les intégrales figurant dans (2), et en se servant de (i), on a une 

 équation où y(a7,) et/(a;u) entrent d'une manière linéaire et homogène. 

 Comme ces valeurs sont arbitraires, on en déduit les deux identités 



^^I-k'Q) 71 (o) 



^^7l'(X) 71(0) 



formules qui sont valables pour x entre x^ et .i, , À l'exclusion des extrémités. 

 On en conclut par soustraction 



(4) ^.^;^^e'-['^{o)e->-,-^X(o)e-^-^.]^o, 



identité remarquable, qui est valable pour toute valeur de x comprise 

 enti-e .r„ et a*,, à l'exclusion des extrémités. H est aisé de montrer, par la 

 même analyse, que le premier membre de (4) est égal à 



X(o)-LJ>(o) ^ ', 

 ■ ( pour X = 0^-0) 



