668 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



/-/(o) — 1(0) 



et est égal a 



On a donc explicitement une série d'exponentielles, nulle pour toute 

 valeur de .v entre x^ et .r,, et différente de zéro aux extrémités de cet 

 intervalle. 



4. Passons au cas où zéro est racine simple de ~ (-). On est conduit, par 

 une analyse analogue, aux formules 



Zàln'O-) ~ ^ 'tJ{o\ 7î'(o)' 



^^1%'Q.) t (o) t: (o) 



la sommation étant étendue aux racines de - (r-) (A = o exclu). Ces for- 

 mules, valables entre o^o et a?,, ne sont pas valables aux extrémités. On en 

 conclut 



Le premier membre de l'équation (6) est égal à pour x ^= x,, et 



. , , i-L 



égal a pour x =^ x„. 



5. Indiquons deux exemples très simples. Tout d'abord la série de 

 Fourier correspond à 



7i(;) = t;''=— I, (];(;.)=— I (rt>o). 



(3n peut prendre ici comme rayon/-,, la valeur—^ — '• En prenant Tiu- 



tervalle de zéro à </, on a 



/=:L=: — I. 



Il y a une racine nulle pour ~(-); les formules (5) se réduisent au déve- 

 loppement trigonométrique de x, et les termes du premier uieuibre 

 de ( 6 ) sont tous nuls, sauf le jtremier terme qui est bien égal kii/i. 



Prenons en second lieu 



T.(z) = z(e''--hr'"-) + /((«'"—«-"-) 



('7 > o. /( > o). 



