SÉANCE DU 17 JUIN 1912. 1687 



dainental de la théorie de Weierstrass s'énonce ainsi : Si deux points A et B 

 où la densité est nulle sont intérieurs à deux cercles pouvant être réunis par 

 un nombre fini de cercles sécants, la densité étant nulle en tous les points 

 intérieurs à tous ces cercles, la connaissance de 0(H, y]) au voisinage de A 

 détermine cette fonction au voisinage de B. 



Il serait naturel de dire que la fonction (i(c,-i]) est mojwgéne en tout 

 point où la densité est nulle ; on est ainsi conduit à se demander si le théo- 

 rème précédent se généralise lorsque ces points de nionogénéité forment un 

 ensemble quelconque d'un seul tenant. Je n'ai pu résoudre celle question 

 sous sa forme la plus générale, mais je puis indiquer des cas assez étendus 

 où Ton peut énoncer une proposition analogue à celle de Weierstrass. 



Appelons densité moyenne^ dans un cercle (C) de rayon /•, l'expression 



(3) 





Si en un point A la densité est nulle, la densité moyenne \>-{r) dans le 

 cercle de centre A el de rayon /■ tend vers zéro avec /• ; soit '\i(r) une fonction 

 tendant vers zéro avec r ; si l'on a, pour r assez petit, 



(4) f^('-)<'>('-), 



nous dirons que la densité en A est asymplotiquenient inférieure à '■|>(/'). 

 Si en tous les points d'une droite la relation (4) est vérifiée à parlir d'une 

 même valeur de /■, nous dirons que la densité est asymplotiquenient infé- 

 rieure à '\{r) sur la droite. 



Ces délînitions étant posées, on peut fixer une fonction K'') telle que les 

 droites A sur lesquelles la densité est asymptotiquement inférieure à i|/(/-) 

 peuvent être adjointes au domaine d'existence, sans que le théorème fon- 

 damental cesse d'être exact : la connaissance de la fonction au voisinage 

 de A détermine la fonction au voisinage de B si A et B peuvent être réunis 

 par un nombre fini de droites A. [Il est évident que toute droite itilêrictire. 

 au domaine de Weierstrass esl une droite A, puisque sur une telle droite on 



de son domaine d'existence, il faudra someiil utiliser une masse totale de plus en plus 

 grande, la masse totale augmentant indéfiniment lorsque le domaine où 9(x,_y) esl 

 nul lentl vers le domaine d'existence. Parmi les cas où la masse totale peut rester finie, 

 citons celui d'une fraction rationnelle à pôles simples el celui des fonctions décou- 

 vertes par M. t^ompeiu et sur lesquelles M. Denjoy a récemment rappelé l'attention 

 des géomètres. 



