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a fJ^(/') = o pour les valeurs de /• inférieures à une valeur tixej. Nous dirons 

 que la fonction est monogène sur les droites telles que A. 



La question se pose donc de déterminer la fonction ^(z*) de manière que 

 la validité du théorème soit aussi étendue que possible; je suis arrivé à 

 démonln^r que l'on peut prendre 



(5) loy[-los|(/-)] = ^. 



£ élant une conslanle positive quelconque. 



Pour donner un exemple précis, considérons la couronne F com[)rise 

 entre les cercles (c, ) ; x"- -Hj'" := i, (c^) : x- + y'' = 4i et posons 



(6) 





La l'onction ainsi délinic est monogène à l'intérieur de(c,) à l'extérieur 

 de (c-^) et aussi sur les segments de l'axe des x qui réunissent (c,) et (c^). 



La connaissance de ses valeurs au voisinage d'un |)oint quelconque de ce 

 domaine d'existence la détermine dans tout le domaine. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les propriétés des fondions mesurables. 

 Note de M. N. Lusin, présentée par M. Lmile l'icard. 



La lecture de la Note intéressante de M. Borel {Comptes rendus, i -i février 

 191 2) m'a inspiré l'idée de résumer ici les résultats sur les fonctions mesu- 

 rables déjà publiés par moi en russe dans le Recueil de la Société niathéma- 

 lique de Moscou (t. XXYIII, 2, 191 1) dans le Mémoire intitulé : Sur un 

 théorème fondamental du Calcul intégral. 



3oil/,(x-),/o(a-), ...,/„ (a?), ... une suite de fonctions mesurables (jue 

 nous supposons convergente et tendant vers une fonction-limite /(a;) pour 

 tous les points x de l'intervalle o<a;<i, sauf peut-être les points d'un 

 ensemble de mesure nulle. D'après un théorème important de JNI. Egoroff 

 {Comptes rendus, 3o janvier 1911), il existe un ensemble P parfait et non 

 dense et jouissant des propriétés suivantes : 



1° La suite/,, /^,, ...,/„, ... converge uniformément vers f{x) pour cet 

 ensemble P. 



