SÉANCE DU 17 JUIN I912. 1G89 



2" La mesure de P csl supérieure à i — £, (î > o étant aussi petit qu'on 

 veut). 



Supposant quey„ (a-) est un polynôme (« = i , 2, 3, ...) nous obtiendrons 

 le résultat suivant : si ./(-») est une fonction définie dans l'intervalle 

 o'Sx'Sj déclasse i (suivant M. Baire), 



il existe dans cet inler^'alle un ensemble I' parfail et non dense avec les 1 



propriétés: f 



1° La fonction / (x) est continue dans 1' (relativement à 1') ; ( 



2" La mesure V est supérieure à i — c, £ > o aussi petit iju'on veut. ) 



Désignons cette propriété de fonction y"(.t) par « C-propriété ». Nous 

 aurons le tliéorème : 



Si toute foiidion de la suite J\, /.,, ...,/„, ... possède la « C-p/opriélê y>, 

 la fonction - liiiiitc /{cc^ possède aussi la « (Z-pi-opriètè ». 



En ellet, prenons, suivant le lliéorcmc de M. EgorofI", un ensemble P^ 

 parfait et non dense, dans lequel la suite converge uniformément, et 



MesPo>i — ^i£>o aussi petit qu'on veut. Considérons encore, en 

 vertu de « C-propriété », un ensemble P„ (« = i, 2, 3, ...) parfait et non 



dense dans lequcl/„(x) est continue (relativement) et Mes P„ > i 1;:^- 



Tous les points communs à tous les ensembles P„, P,, Po, ... forment évi- 

 demment un ensemble mesurable E el MesE >i — ( — -f-;^+...]=i — -• 



Par conséquent l'ensemble E contient un ensemble P parfait et non dense 

 tel que Mes P > 1 — £. On voit que cet ensemble P vérifie « C-pro- 

 priété ». (c. o. F. D.) 



De là résulte que « C-propriété » appartient non seulement aux fonc- 

 tions de classe i, mais à toutes les fonctions de la classification de M. Biùre. 

 Mais on peut voir, de plus, que toute fonction mesurable possède cette 

 « C-propriélé » et, inversement, que toute fonction f(x) possédant la 

 « C-propriété » est une fonction mesurable. 



Nous trouvons ainsi ce tbéorème général : 



Si f(x) est une fonction mesurable définie dans l'intervalle o'ix'Si, il 

 existe dans cet intervalle un ensemble V parfail et non dense jouissant des pro- 

 priétés : 



1° La fonction f (x) est continue dans 1' (relativement à P) ; 



2" La mesure de P est supérieure à i — î, £ ^ o aussi petit qii'on veut. 



