1G90 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Comme conséquence nous obtiendrons : 



SiJ'(û:) est une fonction mesurable définie dans l'intervalle o "S. x'S i , il existe 

 une série de polynômes 'S p„ (x) absolument convergente versla fonction f (oc) 



pour tous les points de l'intervalle oSxSi, sauf peut-être les points d'un 

 ensemble de mesure nulle. 



On voit bien que ce résultat est la généralisation du célèbre théorème de 

 Weierstrass-Picard sur la représentation des fonctions continues. 



Ces résultats m'ont permis de démontrer les deux lliéorèmcs suivants : 



I. // n'existe aucune fonction continue ¥{x) admettant -j- = + x ou 

 T— = — y:) pour un ensemble de points de mesure non nulle. 



II. TnÉoniiME général. — Si f(x) est une fonction mesurable définie dans 

 l'intervalle o5ic<i et partout finie, sauf peut-être les points d'un ensemble de 

 mesure nulle, il existe une fonction F (x) continue dans i intervalle entier 

 oSxS^ telle qu'elle admette f{x) pour dérivée ordinaire en tous les points, 

 sauf peut-être aux points d'un ensemble de mesure nulle. 



On peut ainsi dire que le problème de la rechcrclic des fonctions primi- 

 tives est résolu quand on néglige les ensembles de mesure nulle. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Siu' le théorème général de M. Picard. 

 Note de M. C. CAitATiiftoDonv, présentée par M. Mniilc Picard. 



i. Le théorème général de M. Picard, concernant les points essentiels 

 isolés d'une f(^nctioii anal) tique, n'a pas reçu juscju'à présent d'extension 

 analogue à celle, désormais classique, que M. Landau a donnée pour le théo- 

 rème sui' les fonctions entières; nous allons lâcher de combler cette lacune 

 en démonlrant le résultat suivant : 



TiiÉoHi'iMK I. — Il existe une constante numérique t/., différente de zéro, telle 

 que pour toute fonction analytique f(z) régulière, uniforme et différant de 

 zéro et de un pour o <^\z\<^\, l'une au moins des deux inégalités 



|y"(s) I <^ 2 ou \ f ( z- ) I > - soit conslamine/it vérifiée à lintérieur du cercle 

 fixe o <^ |s I <] a. 



