SÉANCE DU 17 JUIN I912. 1691 



On peut même aller un peu plus loin : 



TiiicoRÈME II. — Il existe une constante numérique (/.positive et différente 

 de zéro, telle que^ étant compris entre zéro et a, toute fonction analytique f (^z) 

 régulière, uniforme et différant de zéro et de un ci l'intérieur de la couronne 

 p- <^ I : I <; I, satisfasse constamment à l'une au moins des deu.v inégalités 

 |/(; )| <^2 ou ]/"( -)| <i- à l'intérieur de la couronne p <; | s | <; a. 



2. Soit 9 (a') une fonction régulière et différente de zéro et de un 

 pour|.r|< i; posons (p(o) = jo et soit|v„| — -• Faisons comme de cou- 

 tume la représentation conforme du demi-plan des y, qui contient Yo sur 

 un triangle d'arcs de cercles tangents entre eux, et choisissons ce triangle de 

 façon qu'il soit inscrit dans le cercle |(o| = i et que l'image de j„ coïncide 

 avec le centre w ^ o de ce dernier cercle. 



Désignons par ni{Y„) la distance à l'origine ti> = o de la courbe entou- 

 rant ce point, qui correspond dans le plan des co au cercle | y — y„ | = i; cette 



distance est différente de zéro. On voit sans peine, en appliquant au procédé 

 de démonstration classique de M. Picard, l'inégalité de M. Schwarz dont 

 je me suis servi autrefois {Comptes rendus, t. 141, igoS), que l'inéga- 

 lité \x[^m{y„) implique la condition |/(.r) — /(o)| < :^- 



La grandeur positive /«(,r„) est une fonction continue cl périodique 

 de ju lorsque cette dernière quantité décrit le cercle |y„| = -; elle ne s'an- 

 nule d'ailleurs jamais, d'où l'on conclut que le minimum p. de «i (v„) est 

 différent de zéro sous ces conditions. 



Il existe donc une constante numérique positive u., telle que pour toute 

 fonction cp(a7) régulière et différente de 0,1 dans le cercle |a;|< i et 



satisfaisant de plus à la condition l '^ (o) | = -> l'inégalité |^ |< ri. entraîne 

 la condition 1^(37) — '9 (o))<^- • 



3. Soity'(:; une fonction régulière, uniforme et différente de zéro et de 

 un dans la couronne circulaire p-<|::|< i, et satisfaisant de plus à la 



condition |/(;o ) 1 = 7 en un point ;„ du cercle | = | = ' 



Posons avec M. Lindelôf (Congrès de Mathématiques, Stockhol m, 1909) 



