1692 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



:: =z e-^, et dôsiijnons par .r,, l'une des racines de réqualion z„ = e^ . La fonc- 

 tion o{x) = /('e-") satisfera aux conditions du n" 2 à l'inlcrieur du cercle 

 I •^' ~ '^0 I <C— 'ogp et [à cause delà périodicité de 9(a^)] toute valeurprise 

 par/'(3) en un point quelconque du cercle | 3 | = p correspondra à une 

 valeur prise par '^{oc) en un point du cercle \x — x^^yliz. 



On voit donc, en appliquant le résultat n° 2, que si :: est un point du 



cercle | : | = p l'inégalité | /(-) — f{^„) \ <C - sera satisfaite, pourvu (jue 

 <^ (ji, ou, ce qui est la même chose, pourvu que p <^a|, en posant 



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— logp 



■K 



On trouvera de même un nombre a, tel que, si l'on a, sous les mêmes 

 conditions pour /( = ), I/('o)l = - c" ^"^ point :;„ du cercle | ;| = p, on 



aura pour tout autre point du même cercle |./(:;) — ./("o)|<!~ lorsque 

 p<aj. 



Je dis que notre théorème II est vérifié, si l'on choisit comme constante a 

 la plus petite des deux quantités a, et a^, déterminées précédemment. On 

 trouverait, dans le cas contraire, à l'intérieur de l'anneau circulaire 



p<;| ï| <;aau moins deux points j, et s,, tels que |y'(::| )| =- et|/(r^)| = 2; 

 posons I :: I =r /■, et | ^o | = ?% . 



Les valeurs prises pary(-) sur le cercle |^| = r, satisfont à l'inégalité 



!/(:) —/(=,) I ■< ô d'où l'on tire pour tout point de ce cercley| (r) | ^rr; 



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 de même on trouverait qu'en tout point du cercle | = | = 7\ on a [/(:;) | ^ ô' 



Il suit de là que /■, ^r., et l'on a, par exemple, /•, <^ ;% ; il existe, de plus, à 

 cause de la continuité de/(s)à l'intérieur de la couronne /•, <! |>i<C '"ij un 

 point \ pour lequel on a_/'(?) = e''«, le nombre /„ étant réel. 



L'intégrale 



■ir.ij f(z 



f'(z)dz 



prise le long du contour de l'anneau ;•, <^ Ij-] <^/.,, r<'[)résentc, tant (pie/ 



reste réel, une fonction continue de /, puisqu'on a alors \f ( zy~ e" | > 7. ; mais 



cette intégrale, qui représente le nondjre de racines de l'équation J\:-) = e" 

 à l'intérieur de notre couronne, a pour valeur un nombre entier positif ou 

 zéro et est, par conséquent, constante. Nous avons vu, d'autre paît, que 

 notre intégrale ne |)imiI s'annuler pour /=:/„, elle sera donc également dillé- 



