SEANCE DU 24 JUIN I912. . 1783 



connue 



(1) j'j\y.¥ + ^G + yW)d^ 



ne dépend que de Z, et cela au moyen de l'égalité 



, , JF f)G dW 



(2) -r-+j — ^--T- = o, 



ox ay az 



que l'on ne saurait établir sans passer d'une surface S à une autre par des 

 variations prises par rapport à a et devant s'annuler sur 2, ce qui n'aurait 

 aucun sens si toutes les surfaces S ne passaient pas par S. 



Alors F, G, H peuvent être considérés, le long d'une surface S, comme 

 des fonctions non seulement de x, y, z mais aussi des dérivées partielles 

 dey, dérivées exprimables en a:, y, s. 



Et l'équation (2) devient 



(3) i;(>-2;F,f -^2F'^'lr^---)=°' 



le sigma mis en avant du crochet indiquant qu'on doit écrire deux crochets 

 analogues déduits du premier en remplaçant F et a? par G et y, puis par H 

 et z. 



. Il a là une équation aux dérivées partielles dont il n'y a pas lieu, on le 

 voit, de déterminer l'ordre et qui doit appartenir aux surfaces S. Sous cette 

 forme (3 ) elle possède son maximum de symétrie, ce qui rend particulière- 

 ment élégant le cas où les surfaces S sont définies par une équation impli- 

 cite. Je compte me servir de (3) dans le travail beaucoup plus étendu qui 

 développera cette Note, mais ici, pour abréger, je passe tout de suite au cas 

 où l'équation y=o est remplacée par o(^x, y; a) — z ^ o. 



Alors (3) est remplacée par l'équation suivante, que l'on aurait pu 

 déduire immédiatement de (2), 



( Gy+GpS -¥■ G,< -f- Grly+GsSy-^ G,ty-k-. . .-+- H.r=0. 



F, G, H sont des fonctions de x,y^ z et des dérivées partielles de z, soient 

 /), q, r, s, t, ..., exprimables sans ambiguïté en fonction de x, y, a. 



La première propriété remarquable des surfaces S est évidemment que 

 l'intégrale (i) peut s'y exprimer par une intégrale de ligne attachée au 

 contour S ; il en sera de même pour une aire limitée par un contour quel- 

 conque. Comme type de premiers résultats de ce genre, il importe de citer 



