17B6 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



d'où ['('liide préalable de réqiialion 



dz 



(3) 



O'-z 



■œi' 



dy 



p élanl un entier positif, (^elle équation admet comme solution fondamen- 

 tale, valable dans tout le plan, 



"/ + i'i 



en posant 



■7' IJ- - 50 I 



■V c 





-hje) 



7, ■! 



y-n)-^ ■' J 





■ ) 



A et B étant des constantes aibitraires ( ' ). 



a. S\ p est pair, les pi-obléines aux limites, éludiés dans le cas de Féqua- 

 tion de la clialeur et de l'équation (i), se résolvent éi^alement pour les 

 équations (-2) et (3 ), el |iar des méthodes analogues. Si le contour portant 

 les données traverse l'axe des r, on prendra A = B; sinon, on prendra 

 A = o. (Le contour peul d'ailleurs comprendre une ou plusieurs portions 

 de l'axe des j'.) La recherclie de la solution Ci) se ramène à la résolution 

 d'équations de Volterra de deuxième espèce. On traite ensuite l'équation 



0-z 



''-"Ty-^J'^^^^''^' 



en remarquant que 



"(*■./)=/ / U ( X, y ; ç, r/ )/( t, n ) de dn 



est solution de cette équation, sous des conditions analogues à celles qui 



iï^z dz 



O.r-i Oy 



ont été trouvées pour l'équation y^ r^ =_/ (voir ma Note citée à laquelle 



je renvoie pour les notations). 



Puis on passe au cas de ré(piation (2) : on trouve ainsi des équations 

 intégrales analogues aux équations (5) et (G) de la Note en ([uestion. Enfin 



(') 1„ n'est autre qu'une fonction de Bessel. T^'équalion (3) peul (rnilleurs se 

 ramener, par un changement de variable, à une équation étudiée, dans un cas parti- 

 culier, par M. Kepin^ki {Mathenialische innaleii. l. LXI). (Jf. aussi VVera Myller- 

 Lehedef, même Recueil, t. IA\I. 



